Bài 12: Tìm số lượng khẩu trang

Chúng ta cần tìm số lượng khẩu trang ban đầu. Bài toán cho biết số lượng khẩu trang này có thể đóng gói vừa đủ thành các hộp 10 chiếc mỗi gói, sau đó các gói này lại xếp vừa đủ vào các hộp, mỗi hộp 24 gói. Điều này có nghĩa là tổng số khẩu trang là một số chia hết cho tích số lượng khẩu trang trong một gói và số gói trong một hộp.

Số lượng khẩu trang trong một gói là 10 chiếc.

Số gói trong một hộp là 24 gói.

Vậy, số lượng khẩu trang ban đầu là một bội số của \(10 \times 24 = 240\).

Tương tự, nếu đóng gói khẩu trang thành các hộp, mỗi hộp 45 chiếc thì cũng vừa đủ. Điều này có nghĩa là tổng số khẩu trang cũng là một bội số của 45.

Như vậy, số lượng khẩu trang ban đầu phải là một số chia hết cho cả 240 và 45.

Chúng ta cần tìm Bội chung Nhỏ nhất (BCNN) của 240 và 45.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

• \(240 = 24 \times 10 = (2^3 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^4 \times 3 \times 5\)
• \(45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5\)

BCNN(240, 45) = \(2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 144 \times 5 = 720\).

Số lượng khẩu trang ban đầu là một bội của 720. Các bội của 720 là: 720, 1440, 2160, …

Đề bài cho biết số lượng khẩu trang đó nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200 chiếc.

Trong các bội của 720, chỉ có 720 là nhỏ hơn 1000.

Chúng ta cần kiểm tra lại thông tin đề bài. À, có lẽ cách hiểu ban đầu của cô chưa hoàn toàn chính xác. Hãy xem lại nhé:

Nếu đóng gói thành các gói 10 chiếc, sau đó các gói xếp thành các hộp, mỗi hộp 24 gói thì vừa đủ. Nghĩa là số lượng khẩu trang là bội của \(10 \times 24 = 240\).

Nếu đóng gói thành các hộp, mỗi hộp 45 chiếc thì cũng vừa đủ. Nghĩa là số lượng khẩu trang là bội của 45.

Như vậy, số lượng khẩu trang ban đầu là bội chung của 240 và 45. BC(240, 45) = B(720). Các bội chung là 720, 1440, 2160,…

Tuy nhiên, đề bài còn một thông tin quan trọng nữa: “cx lượng khẩu trang như v nếu đóng vào thành các hộp, mỗi hộp 45 chiếc thì cx vừa đủ.” Thông tin này có thể hiểu là số lượng khẩu trang ban đầu chia hết cho 45.

Và “Một số lượng khẩu trang đc đóng gói thành các gói 10 chiếc, sau đó cái gói đc xếp thành các hộp, mỗi hộp 24 gói thì vừa đủ số hộp.” Điều này có nghĩa là tổng số khẩu trang chia hết cho số khẩu trang trong mỗi hộp, mà số khẩu trang trong mỗi hộp là \(10 \text{ chiếc/gói} \times 24 \text{ gói/hộp} = 240 \text{ chiếc/hộp}\). Vậy, số lượng khẩu trang là bội của 240.

Do đó, số lượng khẩu trang ban đầu là bội chung của 240 và 45.

Ta có BCNN(240, 45) = 720.

Các bội của 720 là: 720, 1440, 2160, …

Đề bài yêu cầu tìm số lượng khẩu trang trong khoảng từ 1000 – 1200 chiếc.

Trong các bội của 720, không có số nào nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200.

Cô xin lỗi các em, có vẻ như đề bài có một chút nhầm lẫn trong cách diễn đạt hoặc số liệu. Tuy nhiên, nếu chúng ta hiểu theo hướng số lượng khẩu trang là bội chung của hai cách đóng gói khác nhau:

• Cách 1: Đóng thành các gói 10 chiếc, rồi xếp các gói này vào hộp, mỗi hộp 24 gói. Tổng số khẩu trang là \(10 \times 24 = 240\) chiếc/hộp. Vậy số lượng khẩu trang là bội của 240.
• Cách 2: Đóng trực tiếp thành hộp, mỗi hộp 45 chiếc. Vậy số lượng khẩu trang là bội của 45.

Số lượng khẩu trang là bội chung của 240 và 45, tức là bội của BCNN(240, 45) = 720.

Nếu đề bài yêu cầu “số lượng khẩu trang đó là một số có thể đóng gói theo hai cách đó và nằm trong khoảng từ 1000 – 1200 chiếc”, thì sẽ không có đáp án.

Tuy nhiên, chúng ta hãy thử đọc lại đề bài thật kỹ: “Một số lượng khẩu trang đc đóng gói thành các gói 10 chiếc, sau đó cái gói đc xếp thành các hộp, mỗi hộp 24 gói thì vừa đủ số hộp. Cx lượng khẩu trang như v nếu đóng vào thành các hộp, mỗi hộp 45 chiếc thì cx vừa đủ.”

Có thể diễn đạt này ám chỉ rằng:

• Số lượng khẩu trang ban đầu chia hết cho 10 (vì đóng gói thành các gói 10 chiếc).
• Sau khi đóng gói thành các gói 10 chiếc, số gói đó xếp vừa đủ vào các hộp, mỗi hộp 24 gói. Điều này có nghĩa là tổng số gói là bội của 24. Vậy tổng số khẩu trang là \( \text{số gói} \times 10 \), và số gói này là bội của 24. Nên tổng số khẩu trang là bội của \(24 \times 10 = 240\).
• Còn nếu đóng gói thành các hộp, mỗi hộp 45 chiếc thì cũng vừa đủ. Nghĩa là số lượng khẩu trang ban đầu là bội của 45.

Vậy, số lượng khẩu trang ban đầu là bội chung của 240 và 45. BCNN(240, 45) = 720.

Các bội của 720 là 720, 1440, 2160, …

Khoảng từ 1000 – 1200 chiếc.

Chúng ta hãy xem lại xem có cách hiểu nào khác không. Nếu đề bài có thể hiểu là:

• Số lượng khẩu trang chia hết cho \(10 \times 24 = 240\).
• Số lượng khẩu trang chia hết cho 45.

Thì số lượng khẩu trang là bội của 720. Vẫn không có số nào trong khoảng 1000-1200.

Có thể đề bài đang muốn nói rằng số lượng khẩu trang là BCNN(240, 45) hoặc bội của BCNN(240, 45) và nằm trong khoảng đó.

Cô xin phép đưa ra một giả định là có thể đề bài có sai sót nhỏ và chúng ta cần tìm một số gần với bội của 720 nhất hoặc là có thể có một cách hiểu khác.

Tuy nhiên, dựa trên cách diễn đạt thông thường của các bài toán dạng này, số lượng khẩu trang phải là bội chung của hai cách đóng gói.

Nếu chúng ta xem xét kỹ hơn câu “Cx lượng khẩu trang như v nếu đóng vào thành các hộp, mỗi hộp 45 chiếc thì cx vừa đủ.”

Và câu “Một số lượng khẩu trang đc đóng gói thành các gói 10 chiếc, sau đó cái gói đc xếp thành các hộp, mỗi hộp 24 gói thì vừa đủ số hộp.”

Điều này có nghĩa là số lượng khẩu trang là một số \(N\).

\(N\) chia hết cho \(10 \times 24 = 240\).

\(N\) chia hết cho 45.

Vậy \(N\) là bội chung của 240 và 45.

BCNN(240, 45) = 720.

Các bội của 720 là: 720, 1440, 2160, …

Với điều kiện số lượng khẩu trang trong khoảng từ 1000 – 1200 chiếc, không có bội số nào của 720 thỏa mãn.

Cô đoán rằng đề bài có thể có một chút sai sót về mặt số liệu hoặc cách diễn đạt.

Nếu đề bài cho là khoảng 1000-1500 chẳng hạn, thì có thể xem xét bội tiếp theo là 1440.

Tuy nhiên, nếu ta phải chọn một đáp án dựa trên các thông tin đã cho, và giả định rằng đề bài có một bội số hợp lệ trong khoảng đó, chúng ta cần xem xét lại các ước chung hoặc bội chung.

Hãy tạm thời bỏ qua phần khoảng cách và tập trung vào việc tìm bội chung.

Chúng ta đã tính được BCNN(240, 45) = 720.

Giả sử có một số lượng khẩu trang là bội của 720. Nếu có một số trong khoảng 1000-1200, nó sẽ phải là một số \(k \times 720\) với \(k\) là số nguyên dương.

Nếu \(k=1\), ta có 720 (nhỏ hơn 1000).

Nếu \(k=2\), ta có 1440 (lớn hơn 1200).

Trong trường hợp này, có thể đề bài đang tìm một số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện chia hết, và số đó nằm trong khoảng đã cho. Nếu không có số nào thỏa mãn, ta cần xem xét lại đề bài.

Để chắc chắn, cô kiểm tra lại BCNN một lần nữa.

• \(240 = 2^4 \times 3 \times 5\)
• \(45 = 3^2 \times 5\)
• BCNN(240, 45) = \(2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 720\).

Phép tính là đúng.

Do không có bội số nào của 720 nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200, có khả năng đề bài có sai sót. Tuy nhiên, nếu bắt buộc phải đưa ra một suy luận dựa trên cách hiểu thông thường, thì số lượng khẩu trang ban đầu phải là một bội của 720.

Để có đáp án, chúng ta cần một số thỏa mãn là bội của 240 và 45, và nằm trong khoảng 1000-1200. Tuy nhiên, không có số nào như vậy.

Giả sử có một sự nhầm lẫn nhỏ trong đề bài và số lượng khẩu trang là bội của 240 và 45, và nằm trong một khoảng khác, ví dụ như 1400-1500 thì đáp án sẽ là 1440.

Tuy nhiên, theo đúng đề bài đã cho, không có số lượng khẩu trang nào thỏa mãn. Nếu em gặp bài này trong đề thi, em nên hỏi lại giáo viên ra đề để làm rõ.

Cô sẽ ghi chú rằng theo đề bài, không có đáp án thỏa mãn.

Bài 13: Chứng minh tính chia hết của A

Cho \(A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + … + 5^{18}\).

a, Chứng minh A chia hết cho 5

Ta có thể viết lại tổng A như sau:

\(A = 5 \times 1 + 5 \times 5 + 5 \times 5^2 + 5 \times 5^3 + … + 5 \times 5^{17}\)

Đặt 5 làm thừa số chung:

\(A = 5 \times (1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{17})\)

Vì \( (1 + 5 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{17}) \) là một tổng của các số nguyên, nên nó là một số nguyên.

Do đó, A là tích của 5 và một số nguyên.

Vậy, A chia hết cho 5.

b, Chứng minh A chia hết cho 6

Để chứng minh A chia hết cho 6, ta cần chứng minh A chia hết cho cả 2 và 3, vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau và \(2 \times 3 = 6\).

Bước 1: Chứng minh A chia hết cho 2

\(A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + … + 5^{18}\)

Mọi số tự nhiên có dạng \(5^n\) với \(n \ge 1\) đều là một số lẻ (vì 5 là số lẻ, và lũy thừa của một số lẻ luôn là số lẻ).

Vậy, \(5, 5^2, 5^3, …, 5^{18}\) đều là các số lẻ.

Tổng của hai số lẻ là một số chẵn.

Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.

Trong tổng A có 18 số hạng. Ta có thể nhóm các số hạng lại:

\(A = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + … + (5^{17} + 5^{18})\)

Mỗi cặp \( (5^{2k-1} + 5^{2k}) \) sẽ là một số chẵn.

\(5^{2k-1} + 5^{2k} = 5^{2k-1} \times (1 + 5) = 5^{2k-1} \times 6\).

Đây là một số chia hết cho 6, và do đó chia hết cho 2.

Tổng của các số chẵn sẽ là một số chẵn.

Do đó, A chia hết cho 2.

Bước 2: Chứng minh A chia hết cho 3

Ta có thể nhóm các số hạng của A như sau:

\(A = 5 + (5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5) + … + (5^{16} + 5^{17}) + 5^{18}\)

Ta thấy \(5 \pmod{3} \equiv 2\)

\(5^2 = 25 \equiv 1 \pmod{3}\)

\(5^3 = 5^2 \times 5 \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{3}\)

\(5^4 = 5^3 \times 5 \equiv 2 \times 2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}\)

Ta thấy quy luật: số mũ lẻ cho số dư 2, số mũ chẵn cho số dư 1 khi chia cho 3.

\(A = 5^1 + 5^2 + 5^3 + … + 5^{18}\)

Số dư của A khi chia cho 3 là:

\(A \pmod{3} \equiv (5^1 \pmod{3}) + (5^2 \pmod{3}) + … + (5^{18} \pmod{3})\)

\(A \pmod{3} \equiv 2 + 1 + 2 + 1 + … + 2 + 1\) (18 số hạng)

Có 9 số hạng có số mũ lẻ (cho số dư 2) và 9 số hạng có số mũ chẵn (cho số dư 1).

\(A \pmod{3} \equiv (9 \times 2) + (9 \times 1) \pmod{3}\)

\(A \pmod{3} \equiv 18 + 9 \pmod{3}\)

\(A \pmod{3} \equiv 27 \pmod{3}\)

\(A \pmod{3} \equiv 0 \pmod{3}\)

Vậy, A chia hết cho 3.

Vì A chia hết cho cả 2 và 3, nên A chia hết cho 6.

c, Chứng minh A chia hết cho 31

Ta cần nhóm các số hạng của A để có thừa số 31.

Xét các số hạng liên tiếp:

\(5^1 + 5^2 = 5 + 25 = 30\) (không chia hết cho 31)

\(5^1 + 5^2 + 5^3 = 5 + 25 + 125 = 155 = 5 \times 31\). Vậy tổng này chia hết cho 31.

Ta có thể nhóm A thành các nhóm 3 số hạng:

\(A = (5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6) + … + (5^{16} + 5^{17} + 5^{18})\)

Có tổng cộng 18 số hạng, nên ta có \(18 / 3 = 6\) nhóm.

Nhóm thứ nhất: \(5 + 5^2 + 5^3 = 5(1 + 5 + 5^2) = 5(1 + 5 + 25) = 5(31)\).

Nhóm thứ hai: \(5^4 + 5^5 + 5^6 = 5^4(1 + 5 + 5^2) = 5^4(31)\).

Nhóm thứ ba: \(5^7 + 5^8 + 5^9 = 5^7(1 + 5 + 5^2) = 5^7(31)\).

…

Nhóm thứ sáu: \(5^{16} + 5^{17} + 5^{18} = 5^{16}(1 + 5 + 5^2) = 5^{16}(31)\).

Vậy, ta có thể viết lại A như sau:

\(A = 5(31) + 5^4(31) + 5^7(31) + 5^{10}(31) + 5^{13}(31) + 5^{16}(31)\)

Đặt 31 làm thừa số chung:

\(A = 31 \times (5 + 5^4 + 5^7 + 5^{10} + 5^{13} + 5^{16})\)

Vì \( (5 + 5^4 + 5^7 + 5^{10} + 5^{13} + 5^{16}) \) là tổng của các số nguyên, nên nó là một số nguyên.

Do đó, A là tích của 31 và một số nguyên.

Vậy, A chia hết cho 31.

Các em thấy không, bài toán nào cũng có cách giải riêng. Quan trọng là chúng ta phải đọc kỹ đề bài và áp dụng đúng kiến thức đã học. Nếu có chỗ nào chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!