Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị liên quan đến số nguyên tố và các đẳng thức. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \(a, b, p\) với \(p\) là số nguyên tố thỏa mãn phương trình:

\((a^3+b)(b^3+a)=p^3\)

Chúng ta cùng nhau phân tích bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

Chúng ta có phương trình tích của hai số, và kết quả lại là lập phương của một số nguyên tố.

Vì \(a, b\) là các số nguyên dương, nên \(a^3+b\) và \(b^3+a\) đều là các số nguyên dương.

Do \(p\) là số nguyên tố, nên các ước số dương của \(p^3\) chỉ có thể là \(1, p, p^2, p^3\).

Do đó, chúng ta có các khả năng sau đây cho hai thừa số \((a^3+b)\) và \((b^3+a)\):

Trường hợp 1: \(a^3+b = 1\) và \(b^3+a = p^3\)

Vì \(a\) là số nguyên dương, \(a \ge 1\). Do đó \(a^3 \ge 1\).

Nếu \(a=1\), thì \(a^3=1\). Để \(a^3+b=1\), ta cần \(1+b=1\), suy ra \(b=0\).

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu \(a, b\) là các số nguyên dương. Do đó, \(b\) không thể bằng \(0\).

Nếu \(a > 1\), thì \(a^3 > 1\), khi đó \(a^3+b > 1\) (vì \(b \ge 1\)).

Vì vậy, trường hợp này không có nghiệm nguyên dương.

Trường hợp 2: \(a^3+b = p\) và \(b^3+a = p^2\)

Xét \(a=b\). Khi đó, \(a^3+a = p\) và \(a^3+a = p^2\).

Điều này dẫn đến \(p = p^2\). Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p>0\). Chia cả hai vế cho \(p\), ta được \(1=p\).

Nhưng \(p\) là số nguyên tố, nên \(p \ne 1\). Do đó, trường hợp \(a=b\) không cho ta nghiệm.

Bây giờ, giả sử \(a \ne b\). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(a < b\).

Nếu \(a < b\), thì \(a^3 < b^3\).

Ta có \(a^3+b = p\) và \(b^3+a = p^2\).

Từ \(a^3+b = p\), ta có \(b = p – a^3\). Vì \(b \ge 1\), nên \(p – a^3 \ge 1\), suy ra \(p \ge a^3+1\).

Thế \(b\) vào phương trình thứ hai: \((p-a^3)^3 + a = p^2\).

Mở rộng biểu thức này khá phức tạp. Hãy thử một cách tiếp cận khác.

Xét hiệu của hai phương trình:

\((b^3+a) – (a^3+b) = p^2 – p\)

\(b^3 – a^3 + a – b = p(p-1)\)

\((b-a)(b^2+ab+a^2) – (b-a) = p(p-1)\)

\((b-a)(b^2+ab+a^2-1) = p(p-1)\)

Vì \(a,b\) nguyên dương và \(a

Ta có \(a^3+b = p\). Vì \(a \ge 1\) và \(b \ge 1\), nên \(p \ge 1^3+1 = 2\).

Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(p \ge 2\).

Ta biết \(a^3 < a^3+b = p\). Do đó, \(a < \sqrt[3]{p}\).

Ta cũng biết \(b^3 < b^3+a = p^2\). Do đó, \(b < \sqrt[3]{p^2}\).

Quay lại phương trình \((b-a)(b^2+ab+a^2-1) = p(p-1)\).

Vì \(p\) là số nguyên tố, các ước số của \(p(p-1)\) sẽ liên quan đến \(p\) và \(p-1\).

Xét trường hợp \(a=1\).
Phương trình trở thành: \((1+b)(b^3+1) = p^3\).
Ta có \(1+b = p\) và \(b^3+1 = p^2\).
Thế \(p=1+b\) vào phương trình thứ hai: \(b^3+1 = (1+b)^2\).
\(b^3+1 = 1+2b+b^2\)
\(b^3 – b^2 – 2b = 0\)
\(b(b^2-b-2) = 0\)
\(b(b-2)(b+1) = 0\)
Vì \(b\) là số nguyên dương, nên \(b=2\).
Nếu \(b=2\), thì \(p = 1+b = 1+2 = 3\).
Kiểm tra lại với phương trình ban đầu: \((1^3+2)(2^3+1) = (1+2)(8+1) = 3 \times 9 = 27\).
Và \(p^3 = 3^3 = 27\).
Vậy, \((a,b,p) = (1,2,3)\) là một nghiệm.

Nếu \(a=2\), thì \(a^3+b = 8+b = p\) và \(b^3+a = b^3+2 = p^2\).
Từ \(8+b=p\), ta có \(b = p-8\).
Thế vào phương trình thứ hai: \((p-8)^3 + 2 = p^2\).
Khó giải phương trình này một cách trực tiếp.

Xét lại \((b-a)(b^2+ab+a^2-1) = p(p-1)\).

Nếu \(b-a=1\), thì \(b=a+1\).
Phương trình trở thành: \(1 \times ((a+1)^2 + a(a+1) + a^2 – 1) = p(p-1)\).
\(a^2+2a+1 + a^2+a + a^2 – 1 = p(p-1)\)
\(3a^2+3a = p(p-1)\)
\(3a(a+1) = p(p-1)\)
Ta có \(a^3+b = a^3 + (a+1) = p\).
Do đó, \(3a(a+1) = (a^3+a+1)(a^3+a+1-1) = (a^3+a+1)(a^3+a)\).
\(3a(a+1) = (a^3+a+1)a(a^2+1)\).
Nếu \(a=1\), \(b=2\). Ta đã tìm được nghiệm \((1,2,3)\).
\(3(1)(2) = 6\). \(p=3\). \(p(p-1) = 3(2)=6\).
\(a^3+a+1 = 1^3+1+1 = 3\). \(a^3+a = 1^3+1 = 2\). \((3)(2) = 6\).
Phương trình \(3a(a+1) = p(p-1)\) và \(p = a^3+a+1\) là đúng cho trường hợp này.

Nếu \(a>1\), ta có \(3(a+1) = (a^3+a+1)(a^2+1)\).
Vế trái là \(3a+3\).
Vế phải là \(a^5 + a^3 + a^2 + a^3 + a + 1 = a^5 + 2a^3 + a^2 + a + 1\).
\(3a+3 = a^5 + 2a^3 + a^2 + a + 1\).
\(a^5 + 2a^3 + a^2 – 2a – 2 = 0\).
Nếu \(a=2\), \(2^5 + 2(2^3) + 2^2 – 2(2) – 2 = 32 + 16 + 4 – 4 – 2 = 46 \ne 0\).
Rõ ràng với \(a \ge 2\), vế phải tăng nhanh hơn vế trái.
Do đó, không có nghiệm nào khác khi \(b-a=1\).

Xét trường hợp \(b-a > 1\).
Ta có \(b^3+a = p^2\) và \(a^3+b = p\).
Suy ra \(b^3 < p^2\) và \(a^3 < p\). Suy ra \(b < p^{2/3}\) và \(a < p^{1/3}\). Nếu \(a\) và \(b\) đều lớn hơn 1. Ta có \(b^3+a - (a^3+b) = p^2 - p\). \(b^3-a^3 + a-b = p(p-1)\). \((b-a)(b^2+ab+a^2) - (b-a) = p(p-1)\). \((b-a)(b^2+ab+a^2-1) = p(p-1)\). Nếu \(a \ge 2\), thì \(a^3 \ge 8\). Nếu \(a=2\), \(b>2\). \(a^3+b = 8+b = p\). \(b^3+a = b^3+2 = p^2\).
\(p^2 = (8+b)^2 = 64+16b+b^2\).
\(b^3+2 = 64+16b+b^2\).
\(b^3 – b^2 – 16b – 62 = 0\).
Nếu \(b=3\), \(27 – 9 – 48 – 62 \ne 0\).
Nếu \(b=4\), \(64 – 16 – 64 – 62 \ne 0\).
Nếu \(b=5\), \(125 – 25 – 80 – 62 = 125 – 167 < 0\). Nếu \(b=6\), \(216 - 36 - 96 - 62 = 216 - 194 > 0\).
Có nghiệm trong khoảng \((5,6)\), không phải số nguyên.

Ta cũng có thể nhận thấy rằng \(a^3+b \le b^3+a\) nếu \(a \le b\).
Do đó, \(p \le p^2\), điều này luôn đúng với \(p\) nguyên tố.

Ta có \(a^3+b = p\).
Nếu \(a \ge 2\), thì \(a^3 \ge 8\).
Nếu \(b \ge 2\), thì \(b^3 \ge 8\).
Nếu \(a \ge 2\) và \(b \ge 2\).
\(a^3+b \ge 8+2 = 10\).
\(b^3+a \ge 8+2 = 10\).
Nếu \(a=2, b=3\): \((2^3+3)(3^3+2) = (8+3)(27+2) = 11 \times 29 = 319\). \(319\) không phải lập phương của số nguyên tố.
\(p=11\), \(p^2 = 121\), \(p^3 = 1331\).

Nếu \(a=1\), \(b=2\), \(p=3\). \((1^3+2)(2^3+1) = 3 \times 9 = 27 = 3^3\). Nghiệm \((1,2,3)\).
Nếu \(a=2\), \(b=1\), \(p=3\). \((2^3+1)(1^3+2) = 9 \times 3 = 27 = 3^3\). Nghiệm \((2,1,3)\).

Trường hợp 3: \(a^3+b = p^2\) và \(b^3+a = p\)

Trường hợp này tương tự như Trường hợp 2, chỉ là hoán đổi vai trò của \(a\) và \(b\).
Nếu ta giả sử \(a \ge b\), thì \(a^3+b \ge b^3+a\).
Do đó, \(p^2 \ge p\), điều này luôn đúng.

Nếu \(a=2, b=1\), ta có \(a^3+b = 2^3+1 = 9\). \(b^3+a = 1^3+2 = 3\).
Ta cần \(a^3+b = p^2\) và \(b^3+a = p\).
Vậy \(9 = p^2\) và \(3 = p\).
Từ \(3=p\), ta có \(p^2 = 3^2 = 9\).
Điều này khớp với \(a^3+b=9\).
Vậy, \((a,b,p) = (2,1,3)\) là một nghiệm.

Trường hợp 4: \(a^3+b = p^3\) và \(b^3+a = 1\)

Tương tự như Trường hợp 1, trường hợp này không có nghiệm nguyên dương.

Kết luận:

Chúng ta đã xem xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra.

Các bộ ba số nguyên dương \(a, b, p\) với \(p\) là số nguyên tố thỏa mãn \((a^3+b)(b^3+a)=p^3\) là:

• \( (1, 2, 3) \)
• \( (2, 1, 3) \)

Cả hai trường hợp này đều cho \(p=3\), là một số nguyên tố.

Bài học hôm nay kết thúc tại đây. Các em về nhà ôn tập kỹ các phương pháp giải bài toán này nhé!