Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về đa thức. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng đa thức \(f(x)\) luôn có ít nhất 2 nghiệm, dựa vào một đẳng thức cho trước. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài:

Cho đa thức \(f(x)\), biết với mọi \(x\) ta có : \(x \cdot f(x+1)=(x+2) \cdot f(x)\) . Chứng minh rằng đa thức \(f(x)\)  luôn có ít nhất \(2\) nghiệm.

Phân tích và hướng giải:

Để chứng minh đa thức \(f(x)\) có ít nhất 2 nghiệm, chúng ta cần tìm ra 2 giá trị \(a\) và \(b\) khác nhau sao cho \(f(a)=0\) và \(f(b)=0\). Đẳng thức cho trước \(x \cdot f(x+1) = (x+2) \cdot f(x)\) là chìa khóa để chúng ta tìm ra các giá trị này. Chúng ta sẽ thử thế các giá trị đặc biệt của \(x\) vào đẳng thức để tìm ra các nghiệm này.

Lời giải chi tiết:

Ta có đẳng thức cho trước là:

\(x \cdot f(x+1) = (x+2) \cdot f(x)\) (1)

Đẳng thức này đúng với mọi \(x\).

Bước 1: Tìm nghiệm thứ nhất.

Để tìm nghiệm của đa thức \(f(x)\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(f(x)=0\). Hãy thử thế một giá trị đặc biệt của \(x\) vào đẳng thức (1) để xem chúng ta có thể làm cho một vế bằng 0 hay không, hoặc rút ra được điều gì đó về \(f(x)\).

Ta nhận thấy rằng nếu \(x=0\), vế trái của đẳng thức (1) sẽ bằng 0.

Thế \(x=0\) vào đẳng thức (1), ta được:

\(0 \cdot f(0+1) = (0+2) \cdot f(0)\)

\(0 \cdot f(1) = 2 \cdot f(0)\)

\(0 = 2 \cdot f(0)\)

Từ đẳng thức \(0 = 2 \cdot f(0)\), ta có thể suy ra ngay rằng \(f(0) = 0\).

Điều này có nghĩa là \(x=0\) là một nghiệm của đa thức \(f(x)\).

Bước 2: Tìm nghiệm thứ hai.

Bây giờ, chúng ta cần tìm một nghiệm khác. Tương tự như trên, chúng ta hãy xem xét các giá trị của \(x\) làm cho các thừa số trong đẳng thức (1) bằng 0.

Ta nhận thấy rằng nếu \(x+2=0\), tức là \(x=-2\), thì vế phải của đẳng thức (1) sẽ bằng 0.

Thế \(x=-2\) vào đẳng thức (1), ta được:

\((-2) \cdot f(-2+1) = (-2+2) \cdot f(-2)\)

\((-2) \cdot f(-1) = 0 \cdot f(-2)\)

\((-2) \cdot f(-1) = 0\)

Từ đẳng thức \((-2) \cdot f(-1) = 0\), ta suy ra \(f(-1) = 0\).

Điều này có nghĩa là \(x=-1\) là một nghiệm của đa thức \(f(x)\).

Bước 3: Kết luận.

Chúng ta đã tìm được hai nghiệm của đa thức \(f(x)\) là \(x=0\) và \(x=-1\).

Rõ ràng, \(0 \neq -1\), nên đây là hai nghiệm phân biệt (khác nhau).

Vậy, đa thức \(f(x)\) luôn có ít nhất 2 nghiệm.

Tổng kết:

Bằng cách thế các giá trị đặc biệt của \(x\) vào đẳng thức cho trước, chúng ta đã dễ dàng tìm ra hai nghiệm của đa thức \(f(x)\) là \(0\) và \(-1\), từ đó hoàn thành yêu cầu của bài toán.

Hy vọng các em đã hiểu rõ bài giải này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!

Chúc các em học tốt!