Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về đa thức khá thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm hiệu của hai nghiệm của một đa thức bậc bốn, với một điều kiện đặc biệt về số nghiệm.

Đề bài: Cho đa thức \(f(x) = 2016 . x^4 – 32(25.k+2).x^2+k^2-100\) ( với \(k\) là số thực dương cho trước ) . Đa thức có đúng ba nghiệm \(a,b,c\)(với \(a<b<c) \) . Tính hiệu của \(a-c\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích dạng của đa thức và đặt ẩn phụ

Đa thức đã cho là một đa thức bậc bốn có dạng trùng phương:

\(f(x) = 2016 . x^4 – 32(25k+2).x^2 + k^2-100\)

Để giải quyết loại đa thức này, chúng ta thường đặt ẩn phụ. Hãy đặt \(y = x^2\). Vì \(x^2\) luôn không âm, nên điều kiện của \(y\) là \(y \geq 0\).

Khi đó, phương trình \(f(x) = 0\) trở thành một phương trình bậc hai theo \(y\):

\(2016 y^2 – 32(25k+2)y + k^2-100 = 0 \quad (*)\)

Bước 2: Phân tích điều kiện “có đúng ba nghiệm \(a,b,c\)”

Chúng ta cần xem xét mối quan hệ giữa nghiệm của phương trình \((*)\) (theo \(y\)) và nghiệm của đa thức \(f(x)\) (theo \(x\)):

• Nếu phương trình \((*)\) có một nghiệm \(y_0 > 0\), thì từ \(x^2 = y_0\) ta sẽ có hai nghiệm phân biệt của \(x\) là \(x = \pm\sqrt{y_0}\).
• Nếu phương trình \((*)\) có một nghiệm \(y_0 = 0\), thì từ \(x^2 = 0\) ta sẽ có một nghiệm của \(x\) là \(x = 0\).
• Nếu phương trình \((*)\) có một nghiệm \(y_0 < 0\), thì từ \(x^2 = y_0\) ta sẽ không có nghiệm thực nào cho \(x\).

Đề bài cho biết đa thức \(f(x)\) có đúng ba nghiệm \(a, b, c\). Điều này rất quan trọng!

Một phương trình trùng phương (dạng \(Ax^4+Bx^2+C=0\)) có thể có 0, 1, 2, 3 hoặc 4 nghiệm thực phân biệt.

Để có đúng 3 nghiệm phân biệt, phương trình bậc hai \((*)\) phải có:

1. Một nghiệm bằng \(0\). (Nghiệm này sẽ cho ta \(x=0\))
2. Một nghiệm dương. (Nghiệm này sẽ cho ta \(x = \pm\sqrt{y_{dương}}\))

Khi đó, các nghiệm của \(f(x)\) sẽ là \(0\), \(\sqrt{y_{dương}}\) và \(-\sqrt{y_{dương}}\), tổng cộng là 3 nghiệm phân biệt.

Bước 3: Tìm giá trị của \(k\)

Để phương trình \(()\) có một nghiệm \(y = 0\), chúng ta thay \(y=0\) vào phương trình \(()\):

\(2016 (0)^2 – 32(25k+2)(0) + k^2-100 = 0\)

\(0 – 0 + k^2-100 = 0\)

\(k^2 – 100 = 0\)

\(k^2 = 100\)

Từ đây, ta có \(k = 10\) hoặc \(k = -10\).

Theo đề bài, \(k\) là số thực dương, nên ta chọn \(k = 10\).

Bước 4: Xác định các nghiệm của đa thức \(f(x)\)

Với \(k=10\), ta thay vào phương trình \((*)\):

\(2016 y^2 – 32(25(10)+2)y + (10)^2-100 = 0\)

\(2016 y^2 – 32(250+2)y + 100-100 = 0\)

\(2016 y^2 – 32(252)y = 0\)

Ta đưa \(y\) ra làm nhân tử chung:

\(y [2016 y – 32(252)] = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm \(y\):

1. \(y_1 = 0\) (Đây là nghiệm mà chúng ta đã dự đoán).
2. \(2016 y – 32(252) = 0\)

\(2016 y = 32 \times 252\)

\(y_2 = \frac{32 \times 252}{2016}\)

Để tính toán dễ hơn, ta nhận thấy \(2016 = 32 \times 63\). (Cách nhẩm: \(32 \times 60 = 1920\), \(32 \times 3 = 96\), \(1920+96=2016\))

Vậy, \(y_2 = \frac{32 \times 252}{32 \times 63} = \frac{252}{63}\)

Ta lại có \(252 = 4 \times 63\).

Vậy, \(y_2 = 4\).

Hai nghiệm của phương trình theo \(y\) là \(y_1 = 0\) và \(y_2 = 4\). Nghiệm \(y_2 = 4\) là một số dương, điều này phù hợp với phân tích ở Bước 2.

Bây giờ, chúng ta tìm các nghiệm của \(f(x)\) từ \(y_1\) và \(y_2\):

• Với \(y_1 = 0\): \(x^2 = 0 \implies x = 0\).
• Với \(y_2 = 4\): \(x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2\).

Vậy, ba nghiệm của đa thức \(f(x)\) là \(-2, 0, 2\).

Bước 5: Tính hiệu \(a-c\)

Theo đề bài, các nghiệm được sắp xếp theo thứ tự \(a < b < c\).

Ta có: \(a = -2\), \(b = 0\), \(c = 2\).

Hiệu \(a-c\) là:

\(a – c = -2 – 2 = -4\).

Kết luận:

Với \(k=10\), đa thức \(f(x)\) có ba nghiệm là \(-2, 0, 2\). Khi đó \(a=-2\), \(b=0\), \(c=2\).

Hiệu \(a-c = -2 – 2 = -4\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này! Chú ý đến điều kiện về số nghiệm để xác định chính xác giá trị của tham số nhé!