Chào các con học sinh yêu quý của cô!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về phân số nhé. Bài toán của chúng ta là:

\( \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \frac{2}{9 \cdot 11} + \frac{2}{11 \cdot 13} + \frac{2}{13 \cdot 15} \)

Nhìn vào bài toán, các con có thấy điều gì đặc biệt không? Mỗi phân số đều có tử số là 2, và mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp. Ví dụ như \( 1 \cdot 3 \), \( 3 \cdot 5 \), \( 5 \cdot 7 \),… Các con có để ý thấy hiệu của hai số ở mẫu số là bao nhiêu không? Đúng rồi, \( 3 – 1 = 2 \), \( 5 – 3 = 2 \), \( 7 – 5 = 2 \),… Hiệu của chúng đều bằng 2!

Đây chính là chìa khóa để giải bài toán này đấy các con ạ! Chúng ta sẽ dùng một thủ thuật đặc biệt để “tách” mỗi phân số ra thành hiệu của hai phân số khác. Cô sẽ hướng dẫn các con nhé:

Chúng ta biết rằng: \( \frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{b – a}{a \cdot b} \).
Bây giờ, nếu chúng ta có \( b – a = 2 \), thì công thức sẽ thành: \( \frac{1}{a} – \frac{1}{b} = \frac{2}{a \cdot b} \).
Tuyệt vời chưa! Đây chính là dạng của các phân số trong bài toán của chúng ta.

Vậy thì, chúng ta có thể viết lại từng phân số như sau:

• Phân số thứ nhất: \( \frac{2}{1 \cdot 3} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \)
• Phân số thứ hai: \( \frac{2}{3 \cdot 5} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \)
• Phân số thứ ba: \( \frac{2}{5 \cdot 7} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \)
• Phân số thứ tư: \( \frac{2}{7 \cdot 9} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{7} – \frac{1}{9} \)
• Phân số thứ năm: \( \frac{2}{9 \cdot 11} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{9} – \frac{1}{11} \)
• Phân số thứ sáu: \( \frac{2}{11 \cdot 13} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{11} – \frac{1}{13} \)
• Phân số thứ bảy: \( \frac{2}{13 \cdot 15} \) sẽ được tách thành \( \frac{1}{13} – \frac{1}{15} \)

Bây giờ, chúng ta hãy thay thế các phân số ban đầu bằng các phép trừ này và cộng chúng lại với nhau nhé:

\( (\frac{1}{1} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} – \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} – \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} – \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} – \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} – \frac{1}{15}) \)

Các con có thấy điều gì thú vị không? Hãy nhìn kỹ nhé:

• Chúng ta có \( -\frac{1}{3} \) và \( +\frac{1}{3} \). Hai số này cộng lại bằng 0.
• Chúng ta có \( -\frac{1}{5} \) và \( +\frac{1}{5} \). Hai số này cộng lại bằng 0.
• Tương tự, \( -\frac{1}{7} \) và \( +\frac{1}{7} \) sẽ triệt tiêu nhau.
• Và cứ thế, \( -\frac{1}{9} \) với \( +\frac{1}{9} \), \( -\frac{1}{11} \) với \( +\frac{1}{11} \), \( -\frac{1}{13} \) với \( +\frac{1}{13} \) đều triệt tiêu nhau!

Sau khi các cặp số đối nhau triệt tiêu hết, chúng ta chỉ còn lại hai số ở đầu và ở cuối thôi:

\( \frac{1}{1} – \frac{1}{15} \)

Bây giờ chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ này là xong:

\( \frac{1}{1} – \frac{1}{15} = \frac{15}{15} – \frac{1}{15} = \frac{15 – 1}{15} = \frac{14}{15} \)

Vậy là, kết quả cuối cùng của bài toán là \( \frac{14}{15} \).

Các con thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách “biến hình” các phân số, nó lại trở nên thật đơn giản! Hãy nhớ kỹ mẹo này nhé, nó sẽ giúp ích cho các con rất nhiều trong các bài toán sau này đấy!

Chúc các con học tốt!