Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài tập rút gọn biểu thức đại số. Đây là những dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 8 liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải để nắm vững phương pháp nhé!

Bài 1: Rút gọn biểu thức \( ( x + 3 ) ^2 + ( x – 2 ) ^2 – 2 ( x + 3 ) . ( x – 2 ) \)

Lời giải:

Quan sát biểu thức đã cho, chúng ta nhận thấy nó có dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc: \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \).

Trong đó:

• \( a = (x + 3) \)
• \( b = (x – 2) \)

Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:

\( ( x + 3 ) ^2 + ( x – 2 ) ^2 – 2 ( x + 3 ) . ( x – 2 ) \)

\( = [ (x + 3) – (x – 2) ]^2 \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông:

\( = ( x + 3 – x + 2 )^2 \)

\( = ( 5 )^2 \)

\( = 25 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( 25 \).

Bài 2: Rút gọn biểu thức \( (3x-2y)^2 + 4.(3x-2y) + 4 \)

Lời giải:

Biểu thức này có dạng của hằng đẳng thức: \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \).

Chúng ta cùng xác định các thành phần \( a \) và \( b \):

• \( a = (3x – 2y) \)
• Để có \( 2ab \), ta thấy \( 2ab = 4.(3x-2y) \). Vì \( a = (3x-2y) \), nên \( 2b = 4 \), suy ra \( b = 2 \).
• Kiểm tra số hạng cuối: \( b^2 = 2^2 = 4 \). Hoàn toàn phù hợp với biểu thức đã cho.

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\( (3x-2y)^2 + 4.(3x-2y) + 4 \)

\( = (3x-2y)^2 + 2 . (3x-2y) . 2 + 2^2 \)

\( = [ (3x – 2y) + 2 ]^2 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( (3x – 2y + 2)^2 \).

Bài 3: Rút gọn biểu thức \( (3x-5)^2 – 2.(3x-5).(3x+5) + (3x+5)^2 \)

Lời giải:

Tương tự như Bài 1, biểu thức này có dạng \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \).

Trong trường hợp này:

• \( a = (3x – 5) \)
• \( b = (3x + 5) \)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\( (3x-5)^2 – 2.(3x-5).(3x+5) + (3x+5)^2 \)

\( = [ (3x – 5) – (3x + 5) ]^2 \)

Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông:

\( = ( 3x – 5 – 3x – 5 )^2 \)

\( = ( -10 )^2 \)

\( = 100 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( 100 \).

Bài 4: Rút gọn biểu thức \( (x-y)^2 + (x+y)^2 – 2.(x+y).(x-y) \)

Lời giải:

Lại một lần nữa, chúng ta thấy biểu thức có dạng \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \). Ở đây, các số hạng \( a^2 \) và \( b^2 \) được viết trước, sau đó là \( -2ab \). Thứ tự các số hạng không làm thay đổi giá trị của biểu thức.

Chúng ta xác định \( a \) và \( b \):

• \( a = (x – y) \)
• \( b = (x + y) \)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\( (x-y)^2 + (x+y)^2 – 2.(x+y).(x-y) \)

\( = [ (x – y) – (x + y) ]^2 \)

Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông:

\( = ( x – y – x – y )^2 \)

\( = ( -2y )^2 \)

\( = 4y^2 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( 4y^2 \).

Bài 5: Rút gọn biểu thức \( (x-2)^2 + (x+1)^2 +2.(x-2).(-1-x) \)

Lời giải:

Đối với bài này, các em cần chú ý một chút ở số hạng cuối cùng. Ta có \( (-1-x) = -(1+x) = -(x+1) \).

Vậy, số hạng cuối cùng là \( 2.(x-2).(-1-x) = 2.(x-2).[-(x+1)] = -2.(x-2).(x+1) \).

Sau khi biến đổi, biểu thức trở thành:

\( (x-2)^2 + (x+1)^2 – 2.(x-2).(x+1) \)

Biểu thức này đã có dạng của hằng đẳng thức \( a^2 + b^2 – 2ab = (a-b)^2 \).

Trong đó:

• \( a = (x – 2) \)
• \( b = (x + 1) \)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\( = [ (x – 2) – (x + 1) ]^2 \)

Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông:

\( = ( x – 2 – x – 1 )^2 \)

\( = ( -3 )^2 \)

\( = 9 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là \( 9 \).

Hy vọng qua 5 bài tập này, các em đã ôn tập và củng cố được kiến thức về hằng đẳng thức \( (a \pm b)^2 \). Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!