Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán khá thú vị về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất \((x;y)\) và biểu thức \(A = x-y\) nhận giá trị nguyên.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\( \begin{cases} mx+2my=m+1 \quad (1) \\ x+(m+1)y=2 \quad (2) \end{cases} \)

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \( \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \( a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0 \).

Áp dụng vào hệ phương trình đã cho, ta có:

• \( a_1 = m \)
• \( b_1 = 2m \)
• \( a_2 = 1 \)
• \( b_2 = m+1 \)

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

\( m(m+1) – 1(2m) \neq 0 \)

\( m^2 + m – 2m \neq 0 \)

\( m^2 – m \neq 0 \)

\( m(m-1) \neq 0 \)

Điều này có nghĩa là \( m \neq 0 \) và \( m \neq 1 \). Đây là điều kiện quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Bước 2: Tìm nghiệm \((x;y)\) của hệ phương trình

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp Cramer. Ở đây, cô sẽ dùng phương pháp Cramer để tìm \(x\) và \(y\).

Định thức của hệ: \( D = m(m-1) \)

Định thức \(D_x\):

\( D_x = \begin{vmatrix} m+1 & 2m \\ 2 & m+1 \end{vmatrix} = (m+1)(m+1) – 2(2m) \)

\( D_x = (m+1)^2 – 4m \)

\( D_x = m^2 + 2m + 1 – 4m \)

\( D_x = m^2 – 2m + 1 \)

\( D_x = (m-1)^2 \)

Định thức \(D_y\):

\( D_y = \begin{vmatrix} m & m+1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = m(2) – 1(m+1) \)

\( D_y = 2m – m – 1 \)

\( D_y = m – 1 \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{(m-1)^2}{m(m-1)} \)

Vì \( m \neq 1 \) (theo điều kiện ở Bước 1), ta có thể rút gọn \( (m-1) \):

\( x = \frac{m-1}{m} \)

\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{m-1}{m(m-1)} \)

Vì \( m \neq 1 \), ta có thể rút gọn \( (m-1) \):

\( y = \frac{1}{m} \)

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \(A = x-y\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị của \(x\) và \(y\) vừa tìm được vào biểu thức \(A = x-y\):

\( A = \frac{m-1}{m} – \frac{1}{m} \)

\( A = \frac{(m-1) – 1}{m} \)

\( A = \frac{m-2}{m} \)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức \(A\) dưới dạng khác để dễ xét điều kiện nguyên:

\( A = \frac{m}{m} – \frac{2}{m} \)

\( A = 1 – \frac{2}{m} \)

Bước 4: Tìm \(m\) để \(A\) nhận giá trị nguyên

Để \(A\) nhận giá trị nguyên, tức là \( 1 – \frac{2}{m} \) là một số nguyên.

Vì 1 là một số nguyên, nên \( \frac{2}{m} \) cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là \( m \) phải là ước số của 2.

Các ước số nguyên của 2 là: \( \{-2, -1, 1, 2\} \).

Bước 5: Kết hợp các điều kiện và tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(m\)

Chúng ta có hai tập hợp điều kiện cho \(m\):

• Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: \( m \neq 0 \) và \( m \neq 1 \).
• Điều kiện để \(A\) là số nguyên: \( m \in \{-2, -1, 1, 2\} \).

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng giá trị của \(m\) từ tập hợp \(\{-2, -1, 1, 2\}\) và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện \( m \neq 0 \) và \( m \neq 1 \) hay không:

• Nếu \( m = -2 \): Thỏa mãn \( m \neq 0 \) và \( m \neq 1 \). Khi đó \( A = 1 – \frac{2}{-2} = 1 – (-1) = 2 \) (là số nguyên).
• Nếu \( m = -1 \): Thỏa mãn \( m \neq 0 \) và \( m \neq 1 \). Khi đó \( A = 1 – \frac{2}{-1} = 1 – (-2) = 3 \) (là số nguyên).
• Nếu \( m = 1 \): Không thỏa mãn điều kiện \( m \neq 1 \). Giá trị này bị loại. (Nếu \(m=1\), hệ có vô số nghiệm, không phải nghiệm duy nhất).
• Nếu \( m = 2 \): Thỏa mãn \( m \neq 0 \) và \( m \neq 1 \). Khi đó \( A = 1 – \frac{2}{2} = 1 – 1 = 0 \) (là số nguyên).

Các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn tất cả các điều kiện là \( \{-2, -1, 2\} \).

Bài toán yêu cầu tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) trong tập hợp này.

Vậy, giá trị nguyên lớn nhất của \(m\) là \( 2 \).

Kết luận:

Giá trị nguyên lớn nhất của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)\) sao cho \(A=x-y\) nhận giá trị nguyên là \( m = 2 \).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt!