Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hình chữ nhật bằng phương pháp lập hệ phương trình với hai ẩn số. Đây là một dạng bài rất hay gặp và yêu cầu chúng ta phải tư duy logic để chuyển từ lời văn sang các biểu thức toán học.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

ĐỀ BÀI:

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m². Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

LỜI GIẢI:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi hai ẩn số là chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất.

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện của ẩn

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là \(x\) (mét).

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(y\) (mét).

Điều kiện: Chiều dài và chiều rộng phải là các số dương. Hơn nữa, vì chiều dài có thể bị giảm 4m, nên chiều dài phải lớn hơn 4m.

Vậy: \(x > 4\) và \(y > 0\).

Bước 2: Lập các phương trình dựa vào dữ kiện bài toán

Theo đề bài, chúng ta có hai thông tin chính để lập hai phương trình:

1. Dữ kiện thứ nhất: “Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m².”

Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức: Chiều dài \(\times\) Chiều rộng.

Từ đó, ta có phương trình thứ nhất:

\(x \cdot y = 240\) (1)

2. Dữ kiện thứ hai: “Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi.”

• Chiều rộng mới là: \(y + 3\) (mét)
• Chiều dài mới là: \(x – 4\) (mét)
• Diện tích mới vẫn là 240 m².

Từ đó, ta có phương trình thứ hai:

\((x – 4)(y + 3) = 240\) (2)

Vậy, ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} xy = 240 \\ (x – 4)(y + 3) = 240 \end{cases} \)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\(y = \frac{240}{x}\)

Thay biểu thức của \(y\) vào phương trình (2), ta được:

\((x – 4)\left(\frac{240}{x} + 3\right) = 240\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân phá ngoặc và rút gọn:

\(x \cdot \frac{240}{x} + x \cdot 3 – 4 \cdot \frac{240}{x} – 4 \cdot 3 = 240\)

\(240 + 3x – \frac{960}{x} – 12 = 240\)

Chuyển các số hạng không chứa ẩn sang một vế, và các số hạng chứa ẩn sang vế còn lại (hoặc giữ nguyên):

\(3x – \frac{960}{x} – 12 = 0\) (Vì hai vế đều có \(240\), ta triệt tiêu)

\(3x – \frac{960}{x} = 12\)

Để khử mẫu \(x\), ta nhân cả hai vế của phương trình với \(x\) (nhớ rằng \(x \ne 0\), điều này đã được đảm bảo bởi điều kiện \(x > 4\)):

\(3x \cdot x – \frac{960}{x} \cdot x = 12 \cdot x\)

\(3x^2 – 960 = 12x\)

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\(3x^2 – 12x – 960 = 0\)

Chia cả hai vế cho 3 để đơn giản phương trình:

\(x^2 – 4x – 320 = 0\)

Giải phương trình bậc hai này. Ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, ta nhận thấy: \((-20) \times 16 = -320\) và \((-20) + 16 = -4\).

Vậy, phương trình có thể viết lại thành:

\((x – 20)(x + 16) = 0\)

Từ đó, ta tìm được hai giá trị của \(x\):

• \(x – 20 = 0 \implies x = 20\)
• \(x + 16 = 0 \implies x = -16\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Theo điều kiện đã đặt, \(x > 4\).

• Giá trị \(x = -16\) không thỏa mãn điều kiện \(x > 4\) (vì chiều dài không thể là số âm), nên ta loại bỏ giá trị này.
• Giá trị \(x = 20\) thỏa mãn điều kiện \(x > 4\). Vậy chiều dài của mảnh đất là 20 mét.

Bây giờ, ta tìm chiều rộng \(y\) bằng cách thay \(x = 20\) vào công thức \(y = \frac{240}{x}\):

\(y = \frac{240}{20}\)

\(y = 12\)

Kiểm tra điều kiện của \(y\): \(y = 12 > 0\), thỏa mãn.

Vậy, kích thước ban đầu của mảnh đất là chiều dài 20m và chiều rộng 12m.

KIỂM TRA LẠI:

• Diện tích ban đầu: \(20 \times 12 = 240\) m² (Đúng).
• Nếu tăng chiều rộng 3m (\(12+3=15\)m) và giảm chiều dài 4m (\(20-4=16\)m).
• Diện tích mới: \(16 \times 15 = 240\) m² (Đúng, diện tích không đổi).

Vậy, kết quả của chúng ta hoàn toàn chính xác.

ĐÁP SỐ:

Chiều dài của mảnh đất là 20 mét.

Chiều rộng của mảnh đất là 12 mét.

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!