Đề bài: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Đây là dạng bài toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, nên chúng ta sẽ sử dụng 2 ẩn số để giải quyết nhé.

Bài giải:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Chúng ta cần tìm vận tốc của bác Hiệp và cô Liên, nên ta sẽ gọi hai ẩn tương ứng cho hai giá trị này.

Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là \(x\) (km/h).

Gọi vận tốc xe của cô Liên là \(y\) (km/h).

Điều kiện: Vì vận tốc phải là một số dương, nên \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Chúng ta sẽ dựa vào các thông tin đã cho trong đề bài để lập các phương trình.

Thông tin thứ nhất: “Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h.”

Từ thông tin này, ta có phương trình đầu tiên:

\(x – y = 3\) (1)

Thông tin thứ hai: “Quãng đường dài 30km” và “bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô liên nửa giờ”.

Chúng ta cần tính thời gian đi của mỗi người. Công thức tính thời gian là: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

• Thời gian bác Hiệp đi hết quãng đường là: \(t_H = \frac{30}{x}\) (giờ)
• Thời gian cô Liên đi hết quãng đường là: \(t_L = \frac{30}{y}\) (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ (tức là 0.5 giờ), điều này có nghĩa là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian đi của cô Liên là 0.5 giờ. Hay nói cách khác, thời gian của cô Liên đi nhiều hơn thời gian của bác Hiệp là 0.5 giờ.

Ta có phương trình thứ hai:

\(t_L – t_H = 0.5\)

\(\frac{30}{y} – \frac{30}{x} = 0.5\) (2)

Vậy, chúng ta có hệ phương trình sau:

\(\begin{cases}
x – y = 3 \quad (1) \\
\frac{30}{y} – \frac{30}{x} = 0.5 \quad (2)
\end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\):

\(x = y + 3\) (3)

Thế biểu thức của \(x\) từ phương trình (3) vào phương trình (2), ta được:

\(\frac{30}{y} – \frac{30}{y+3} = 0.5\)

Để giải phương trình này, chúng ta quy đồng mẫu số ở vế trái:

\(\frac{30(y+3) – 30y}{y(y+3)} = 0.5\)

Rút gọn tử số:

\(\frac{30y + 90 – 30y}{y^2 + 3y} = 0.5\)

\(\frac{90}{y^2 + 3y} = 0.5\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân chéo để loại bỏ mẫu số. Hoặc chúng ta có thể nhân cả hai vế với \(y^2 + 3y\):

\(90 = 0.5(y^2 + 3y)\)

Để làm mất số thập phân 0.5, ta nhân cả hai vế với 2:

\(180 = y^2 + 3y\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai:

\(y^2 + 3y – 180 = 0\)

Chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Ta tìm hai số có tích bằng -180 và tổng bằng 3. Đó là 15 và -12.

Vậy, phương trình có thể viết lại là:

\(y^2 + 15y – 12y – 180 = 0\)

\(y(y + 15) – 12(y + 15) = 0\)

\((y + 15)(y – 12) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: \(y + 15 = 0 \Rightarrow y = -15\)
• Trường hợp 2: \(y – 12 = 0 \Rightarrow y = 12\)

Bước 4: Đối chiếu điều kiện và tìm nghiệm

Theo điều kiện đã đặt ban đầu, vận tốc \(y\) phải lớn hơn 0 (\(y > 0\)).

• Giá trị \(y = -15\) không thỏa mãn điều kiện (\(y > 0\)), nên ta loại nghiệm này.
• Giá trị \(y = 12\) thỏa mãn điều kiện (\(y > 0\)).

Vậy, vận tốc xe của cô Liên là \(y = 12\) km/h.

Bây giờ, ta tìm vận tốc của bác Hiệp bằng cách thay \(y = 12\) vào phương trình (3):

\(x = y + 3 = 12 + 3 = 15\)

Vậy, vận tốc xe của bác Hiệp là \(x = 15\) km/h.

Bước 5: Kết luận

Vận tốc xe của bác Hiệp là 15 km/h.

Vận tốc xe của cô Liên là 12 km/h.

Kiểm tra lại:

• Vận tốc bác Hiệp hơn cô Liên: \(15 – 12 = 3\) km/h (Đúng)
• Thời gian bác Hiệp đi: \(\frac{30}{15} = 2\) giờ
• Thời gian cô Liên đi: \(\frac{30}{12} = 2.5\) giờ
• Bác Hiệp đến trước cô Liên: \(2.5 – 2 = 0.5\) giờ (Đúng)

Bài toán đã được giải quyết xong. Các em hãy xem kỹ từng bước để hiểu rõ nhé!