Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải chi tiết hai bài toán đại số. Đây là những dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kỹ năng thực hiện phép tính với đa thức và giá trị biểu thức. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết từng bước một nhé!

Bài 1: Rút gọn biểu thức

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

\( xy^2 \cdot (x \cdot (-xy)) – x \cdot (x+y) + yx \cdot (2x^2 – 2xy^2) \)

Lời giải chi tiết:

Các em hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức, quy tắc nhân hai đa thức và quy tắc dấu khi thực hiện phép tính.

Bước 1: Khai triển và rút gọn từng hạng tử trong biểu thức.

a) Xét hạng tử đầu tiên: \( xy^2 \cdot (x \cdot (-xy)) \)

Để dễ tính toán, chúng ta sẽ thực hiện phép nhân trong dấu ngoặc đơn trước:

\( x \cdot (-xy) = -x^2y \)

Vậy, hạng tử đầu tiên trở thành:

\( xy^2 \cdot (-x^2y) \)

Áp dụng quy tắc nhân các đơn thức:

\( = (1 \cdot (-1)) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y) \)

\( = -1 \cdot x^{1+2} \cdot y^{2+1} \)

\( = -x^3y^3 \)

b) Xét hạng tử thứ hai: \( -x \cdot (x+y) \)

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức (phân phối dấu trừ vào từng hạng tử):

\( = -x \cdot x + (-x) \cdot y \)

\( = -x^2 – xy \)

c) Xét hạng tử thứ ba: \( yx \cdot (2x^2 – 2xy^2) \)

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức:

\( = yx \cdot (2x^2) – yx \cdot (2xy^2) \)

\( = (1 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y – (1 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y^2) \)

\( = 2x^3y – 2x^2y^3 \)

Bước 2: Cộng các kết quả đã rút gọn của từng hạng tử lại với nhau.

Thay thế các hạng tử đã rút gọn vào biểu thức ban đầu:

\( (-x^3y^3) + (-x^2 – xy) + (2x^3y – 2x^2y^3) \)

\( = -x^3y^3 – x^2 – xy + 2x^3y – 2x^2y^3 \)

Bước 3: Gom các hạng tử đồng dạng (nếu có) và sắp xếp lại biểu thức.

Các hạng tử đồng dạng là những hạng tử có cùng phần biến (cùng chữ và cùng số mũ của mỗi chữ).

• Hạng tử chứa \( x^3y^3 \): \( -x^3y^3 \)
• Hạng tử chứa \( x^2y^3 \): \( -2x^2y^3 \)
• Hạng tử chứa \( x^2 \): \( -x^2 \)
• Hạng tử chứa \( xy \): \( -xy \)
• Hạng tử chứa \( x^3y \): \( 2x^3y \)

Trong trường hợp này, không có hạng tử nào đồng dạng với nhau, vì vậy chúng ta chỉ cần sắp xếp lại cho gọn gàng, ví dụ theo bậc giảm dần hoặc theo thứ tự bảng chữ cái.

Ta có thể sắp xếp như sau:

\( = 2x^3y – x^3y^3 – 2x^2y^3 – x^2 – xy \)

Kết luận: Biểu thức đã rút gọn là:

\( \boxed{2x^3y – x^3y^3 – 2x^2y^3 – x^2 – xy} \)

—

Bài 2: Tính giá trị biểu thức

Đề bài: Tính giá trị của biểu thức \( N = x(x^2 – xy + y^2) – y(x^2 – xy + y^2) \) với \( x=4, y=-1 \).

(Lưu ý: Trong đề bài có thể có sự nhầm lẫn về dấu bằng trong ngoặc, thầy/cô hiểu là phép trừ: \( x^2 – xy + y^2 \)).

Lời giải chi tiết:

Để tính giá trị của biểu thức, chúng ta nên rút gọn biểu thức trước rồi mới thay giá trị của x và y vào.

Bước 1: Rút gọn biểu thức N.

Quan sát biểu thức:

\( N = x(x^2 – xy + y^2) – y(x^2 – xy + y^2) \)

Các em có thể thấy rằng \( (x^2 – xy + y^2) \) là một nhân tử chung. Chúng ta có thể đặt nhân tử chung này ra ngoài:

\( N = (x^2 – xy + y^2) \cdot (x – y) \)

Bước 2: Thay thế giá trị của \( x \) và \( y \) vào biểu thức đã rút gọn.

Đề bài cho \( x=4 \) và \( y=-1 \).

a) Tính giá trị của phần \( (x^2 – xy + y^2) \):

\( x^2 – xy + y^2 = (4)^2 – (4)(-1) + (-1)^2 \)

\( = 16 – (-4) + 1 \)

\( = 16 + 4 + 1 \)

\( = 21 \)

b) Tính giá trị của phần \( (x – y) \):

\( x – y = 4 – (-1) \)

\( = 4 + 1 \)

\( = 5 \)

Bước 3: Tính giá trị cuối cùng của N.

Thay các giá trị vừa tính được vào biểu thức đã rút gọn của N:

\( N = (21) \cdot (5) \)

\( N = 105 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức N là:

\( \boxed{105} \)

Các em thấy đó, việc rút gọn biểu thức trước khi thay số sẽ giúp chúng ta tính toán nhanh hơn và ít mắc lỗi hơn. Hãy luôn luyện tập để thành thạo các kỹ năng này nhé!

Chúc các em học tốt!