Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong Toán học, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn sau này. Chúng ta cùng xem xét bài tập sau nhé:

Bài toán: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(-4x^2 – 4x – 1\)
b) \(64x^2 – (8y + z)^2\)

Lời giải chi tiết:

a) Phân tích đa thức \(-4x^2 – 4x – 1\) thành nhân tử

Để phân tích đa thức \(-4x^2 – 4x – 1\) thành nhân tử, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Quan sát các hạng tử. Chúng ta thấy tất cả các hạng tử đều có dấu âm. Vì vậy, bước đầu tiên là đưa dấu trừ ra ngoài làm nhân tử chung.

\(-4x^2 – 4x – 1 = -(4x^2 + 4x + 1)\)

Bước 2: Xem xét đa thức trong ngoặc \((4x^2 + 4x + 1)\). Chúng ta hãy thử xem nó có phải là một hằng đẳng thức đáng nhớ hay không. Cụ thể, chúng ta nghĩ đến hằng đẳng thức “bình phương của một tổng”: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Chúng ta kiểm tra:

• Hạng tử đầu tiên là \(4x^2\). Ta có \(4x^2 = (2x)^2\). Vậy ta có thể xem \(a = 2x\).
• Hạng tử cuối cùng là \(1\). Ta có \(1 = (1)^2\). Vậy ta có thể xem \(b = 1\).
• Hạng tử ở giữa là \(4x\). Ta kiểm tra \(2ab = 2 \cdot (2x) \cdot (1) = 4x\).

Các điều kiện trên đều khớp! Như vậy, đa thức \(4x^2 + 4x + 1\) chính là bình phương của một tổng \((2x + 1)^2\).

Bước 3: Thay thế vào biểu thức ban đầu.

\(-(4x^2 + 4x + 1) = -(2x + 1)^2\)

Vậy, đa thức \(-4x^2 – 4x – 1\) đã được phân tích thành nhân tử là \( -(2x + 1)^2 \).

b) Phân tích đa thức \(64x^2 – (8y + z)^2\) thành nhân tử

Để phân tích đa thức \(64x^2 – (8y + z)^2\) thành nhân tử, chúng ta hãy nhận dạng dạng của nó.

Bước 1: Quan sát dạng của đa thức. Chúng ta thấy đa thức này có dạng hiệu của hai bình phương: \( A^2 – B^2 \).

• Ở đây, \(A^2 = 64x^2\). Suy ra \(A = \sqrt{64x^2} = 8x\).
• Và \(B^2 = (8y + z)^2\). Suy ra \(B = 8y + z\).

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức “hiệu hai bình phương”: \( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \).

Chúng ta sẽ thay \(A = 8x\) và \(B = 8y + z\) vào công thức:

\(A – B = 8x – (8y + z)\)

Lưu ý: Khi trừ một biểu thức có nhiều hạng tử, chúng ta phải đặt nó trong ngoặc để tránh nhầm lẫn về dấu.

\(A – B = 8x – 8y – z\)

Và:

\(A + B = 8x + (8y + z)\)

\(A + B = 8x + 8y + z\)

Bước 3: Ghép các nhân tử lại.

\(64x^2 – (8y + z)^2 = (8x – 8y – z)(8x + 8y + z)\)

Vậy, đa thức \(64x^2 – (8y + z)^2\) đã được phân tích thành nhân tử là \((8x – 8y – z)(8x + 8y + z)\).

Hy vọng qua hai ví dụ này, các em đã hiểu rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các kỹ năng này nhé!

Chúc các em học tốt!