Xin chào các em, hôm nay thầy sẽ cùng các em giải một bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm điều kiện của tham số \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn một bất đẳng thức.

Bài toán: Cho hệ phương trình:
\(
\begin{cases}
x-my=2 \quad &(1)\\
mx-4y=m-2 \quad &(2)
\end{cases}
\)

Tìm \(m\) để hệ có nghiệm duy nhất \(x>y\).

Phân tích bài toán:

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính:

1. Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

2. Với trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, chúng ta sẽ tìm nghiệm theo \(m\), sau đó đặt điều kiện \(x>y\) và giải bất phương trình tìm \(m\).

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

\(
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
\)

Hệ có nghiệm duy nhất khi tỉ số giữa các hệ số của \(x\) và \(y\) khác nhau, tức là \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \).

Trong bài toán của chúng ta:

\(a_1 = 1\), \(b_1 = -m\), \(c_1 = 2\)

\(a_2 = m\), \(b_2 = -4\), \(c_2 = m-2\)

Để hệ có nghiệm duy nhất, ta có:

\( \frac{1}{m} \neq \frac{-m}{-4} \)

\( \frac{1}{m} \neq \frac{m}{4} \)

Nhân chéo hai vế, ta được:

\( 1 \times 4 \neq m \times m \)

\( 4 \neq m^2 \)

\( m^2 \neq 4 \)

Điều này có nghĩa là \( m \neq 2 \) và \( m \neq -2 \).

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \( m \neq 2 \) và \( m \neq -2 \).

Bước 2: Tìm nghiệm theo \(m\) và đặt điều kiện \(x>y\).

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm. Thầy sẽ dùng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình (1) với \(m\):

\( m(x – my) = m(2) \)

\( mx – m^2y = 2m \quad (3) \)

Trừ phương trình (2) cho phương trình (3):

\( (mx – 4y) – (mx – m^2y) = (m-2) – 2m \)

\( mx – 4y – mx + m^2y = m – 2 – 2m \)

\( (m^2 – 4)y = -m – 2 \)

Vì \( m \neq 2 \) và \( m \neq -2 \), nên \( m^2 – 4 \neq 0 \). Ta có thể chia cả hai vế cho \( m^2 – 4 \).

\( y = \frac{-m-2}{m^2-4} \)

Ta có thể rút gọn biểu thức này:

\( y = \frac{-(m+2)}{(m-2)(m+2)} \)

Do \( m \neq -2 \), ta có thể rút gọn \( (m+2) \).

\( y = \frac{-1}{m-2} \)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(y\) vào phương trình (1) để tìm \(x\):

\( x – m \left( \frac{-1}{m-2} \right) = 2 \)

\( x + \frac{m}{m-2} = 2 \)

\( x = 2 – \frac{m}{m-2} \)

\( x = \frac{2(m-2)}{m-2} – \frac{m}{m-2} \)

\( x = \frac{2m – 4 – m}{m-2} \)

\( x = \frac{m-4}{m-2} \)

Vậy nghiệm của hệ là \( x = \frac{m-4}{m-2} \) và \( y = \frac{-1}{m-2} \).

Bây giờ, chúng ta áp dụng điều kiện \(x>y\):

\( \frac{m-4}{m-2} > \frac{-1}{m-2} \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\( \frac{m-4}{m-2} – \frac{-1}{m-2} > 0 \)

\( \frac{m-4 – (-1)}{m-2} > 0 \)

\( \frac{m-4+1}{m-2} > 0 \)

\( \frac{m-3}{m-2} > 0 \)

Để biểu thức này lớn hơn 0, chúng ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tử số và mẫu số cùng dương.

\( m-3 > 0 \) và \( m-2 > 0 \)

\( m > 3 \) và \( m > 2 \)

Kết hợp lại, ta được \( m > 3 \).

Trường hợp 2: Tử số và mẫu số cùng âm.

\( m-3 < 0 \) và \( m-2 < 0 \)

\( m < 3 \) và \( m < 2 \)

Kết hợp lại, ta được \( m < 2 \).

Kết hợp kết quả của hai trường hợp, ta có \( m > 3 \) hoặc \( m < 2 \).

Tuy nhiên, chúng ta cần nhớ điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là \( m \neq 2 \) và \( m \neq -2 \).

Phần \( m > 3 \) không chứa \( 2 \) và \( -2 \), nên vẫn hợp lệ.

Phần \( m < 2 \) chứa \( -2 \). Do đó, chúng ta cần loại bỏ trường hợp \( m = -2 \).

Vậy, điều kiện cuối cùng là \( m > 3 \) hoặc \( m < 2 \) và \( m \neq -2 \).

Chúng ta có thể viết gọn lại là \( m \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (3, +\infty) \).

Kết luận:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(x>y\), thì \(m\) phải thỏa mãn \( m > 3 \) hoặc \( m < 2 \) và \( m \neq -2 \).

Các em đã hiểu bài chưa nào? Nếu có gì thắc mắc, hãy hỏi thầy nhé!