Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán đại số rất thú vị. Đây là dạng bài mà các em cần nắm vững để giải quyết các phương trình có chứa ẩn ở mẫu.

Đề bài của chúng ta là:

\( \text{x trừ 2/2 = 8/x trừ 2} \)

Trước hết, cô/thầy muốn làm rõ cách viết này trong toán học. Thông thường, khi viết “x trừ 2/2”, ta sẽ hiểu là \((x-2)/2\). Tương tự, “8/x trừ 2” sẽ được hiểu là \(8/(x-2)\). Nếu không có ngoặc, thứ tự thực hiện phép tính sẽ khác và bài toán sẽ trở nên rất phức tạp hoặc có ý nghĩa khác.

Vậy, phương trình mà chúng ta sẽ giải là:

\( \frac{x – 2}{2} = \frac{8}{x – 2} \)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Các em nhớ nhé, khi có ẩn ở mẫu số, chúng ta phải đảm bảo rằng mẫu số đó khác 0. Trong trường hợp này, mẫu số là \((x – 2)\).

Do đó, ta phải có:

\( x – 2 \neq 0 \)
\( x \neq 2 \)

Điều này có nghĩa là nếu chúng ta tìm được giá trị \(x = 2\), thì giá trị đó sẽ không phải là nghiệm của phương trình.

Bước 2: Giải phương trình.

Để giải phương trình có dạng hai phân thức bằng nhau, chúng ta thường dùng phương pháp “nhân chéo” (tích chéo) các em ạ. Tức là tử số của phân thức này nhân với mẫu số của phân thức kia và ngược lại.

Từ phương trình ban đầu:

\( \frac{x – 2}{2} = \frac{8}{x – 2} \)

Nhân chéo, ta được:

\( (x – 2) \cdot (x – 2) = 2 \cdot 8 \)

Rút gọn biểu thức:

\( (x – 2)^2 = 16 \)

Đến đây, chúng ta có hai cách để giải phương trình này:

Cách 1: Khai triển hằng đẳng thức và đưa về phương trình bậc hai.

Khai triển \((x – 2)^2\) theo hằng đẳng thức \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\):

\( x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 16 \)
\( x^2 – 4x + 4 = 16 \)

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để phương trình có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\):

\( x^2 – 4x + 4 – 16 = 0 \)
\( x^2 – 4x – 12 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \(-12\) và tổng bằng \(-4\). Đó là \(-6\) và \(2\). Vậy, ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử:

\( x^2 – 6x + 2x – 12 = 0 \)
\( x(x – 6) + 2(x – 6) = 0 \)
\( (x – 6)(x + 2) = 0 \)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \( x – 6 = 0 \implies x = 6 \)
Trường hợp 2: \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)

Cách 2: Lấy căn bậc hai hai vế.

Đây là cách nhanh hơn và thường được khuyến khích khi một vế là bình phương và vế kia là một số dương.

Từ phương trình: \( (x – 2)^2 = 16 \)

Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta được:

\( \sqrt{(x – 2)^2} = \sqrt{16} \)

Nhớ nhé các em, \(\sqrt{A^2} = |A|\). Và \(\sqrt{16} = 4\). Vậy ta có:

\( |x – 2| = 4 \)

Từ đây, chúng ta có hai khả năng:

Khả năng 1: \( x – 2 = 4 \)
\( x = 4 + 2 \)
\( x = 6 \)

Khả năng 2: \( x – 2 = -4 \)
\( x = -4 + 2 \)
\( x = -2 \)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định.

Chúng ta đã tìm được hai nghiệm là \(x = 6\) và \(x = -2\).

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \neq 2\).

• Với \(x = 6\): Giá trị này khác \(2\), nên \(x = 6\) là một nghiệm hợp lệ.
• Với \(x = -2\): Giá trị này cũng khác \(2\), nên \(x = -2\) là một nghiệm hợp lệ.

Kết luận:

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 6\) và \(x = -2\).

Các em nhớ luyện tập thêm dạng bài này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô/thầy.

Chúc các em học tốt!