Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Viết dưới dạng lũy thừa cơ số 10 của 256 . 8⁴ là:

A 10⁸             B 10¹²             C 10¹⁰             D 10¹⁴

Lời giải:

Để làm được câu này, chúng ta cần biến đổi các số đã cho về lũy thừa có cơ số là 10.

Trước hết, ta phân tích các thừa số:

256 = 2⁸

8 = 2³

Vậy, 8⁴ = (2³)⁴ = 2^{3 * 4} = 2¹²

Bây giờ, ta tính tích của hai số này:

256 . 8⁴ = 2⁸ . 2¹²

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta có:

2⁸ . 2¹² = 2^{8 + 12} = 2²⁰

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu viết dưới dạng lũy thừa cơ số 10. Có vẻ như đề bài có một chút nhầm lẫn hoặc thông tin chưa đầy đủ vì 256 và 8⁴ không trực tiếp liên quan đến cơ số 10 một cách đơn giản như vậy. Nếu đề bài có ý muốn hỏi về một phép tính khác hoặc yêu cầu làm tròn logarit thì sẽ phức tạp hơn. Giả sử đề bài có thể bị lỗi đánh máy và muốn hỏi về một phép tính khác, hoặc chúng ta cần xem xét lại cách hiểu.

Tuy nhiên, nếu ta xem xét các đáp án A, B, C, D đều là dạng 10ⁿ. Điều này gợi ý rằng có thể đề bài ban đầu là một bài toán khác liên quan đến lũy thừa của 10.

Chúng ta sẽ tạm dừng câu này vì thông tin có vẻ chưa rõ ràng để có thể đưa ra đáp án chính xác theo yêu cầu “viết dưới dạng lũy thừa cơ số 10”.

Tuy nhiên, nếu có một phép tính khác mà kết quả là một trong các đáp án trên, ví dụ: Nếu ta có \(10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}\), thì kết quả sẽ là \(10^{a+b}\). Hoặc \( (10^a)^b = 10^{a \cdot b} \).

Giả sử, nếu đề bài là tính \( 10^8 \cdot 10^4 \), thì kết quả là \(10^{12}\), tương ứng với đáp án B. Hoặc nếu là \( 10^{10} : 10^0 \), cũng là \(10^{10}\), đáp án C.

Do đề bài không rõ ràng, chúng ta sẽ chuyển sang câu tiếp theo.

Câu 2: Tìm n \(\in\) N, biết 3ⁿ.2ⁿ = 216, kết quả là:

A n = 6             B n = 4            C n = 2            D n = 3

Lời giải:

Ta có biểu thức: \(3^n \cdot 2^n = 216\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)

Nên \(3^n \cdot 2^n = (3 \cdot 2)^n = 6^n\)

Vậy, ta có phương trình: \(6^n = 216\)

Bây giờ, chúng ta cần phân tích số 216 để xem nó bằng bao nhiêu mũ 6.

Ta thử các giá trị của n:

Nếu n = 1, \(6^1 = 6\)

Nếu n = 2, \(6^2 = 36\)

Nếu n = 3, \(6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216\)

Vậy, n = 3.

Đáp án đúng là D.

Câu 3: Kết quả phép tính nào sau đây không phải là x¹²?

A x¹⁸ : x⁶       B x⁴ . x³             C x⁴ . x⁸             D [(x³)²]²

Lời giải:

Chúng ta sẽ lần lượt tính kết quả của từng phép tính:

A: \(x^{18} : x^6\)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \(x^m : x^n = x^{m-n}\)

Vậy, \(x^{18} : x^6 = x^{18-6} = x^{12}\)

B: \(x^4 \cdot x^3\)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\)

Vậy, \(x^4 \cdot x^3 = x^{4+3} = x^7\)

C: \(x^4 \cdot x^8\)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

Vậy, \(x^4 \cdot x^8 = x^{4+8} = x^{12}\)

D: \([(x^3)^2]^2\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \((x^m)^n = x^{m \cdot n}\)

Trước tiên, \((x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6\)

Sau đó, \((x^6)^2 = x^{6 \cdot 2} = x^{12}\)

Ta thấy, kết quả của phép tính A, C, D đều là x¹². Kết quả của phép tính B là x⁷.

Vậy, kết quả phép tính không phải là x¹² là B.

Phần II: Tự luận

Câu 1: Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

A \(2^4 \cdot 8^3\)

Lời giải:

Để đưa về dạng lũy thừa của cùng một cơ số, ta cần biến đổi số 8 về cơ số 2.

Ta biết \(8 = 2^3\).

Thay vào biểu thức ban đầu:

\(2^4 \cdot 8^3 = 2^4 \cdot (2^3)^3\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\((2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9\)

Vậy, biểu thức trở thành:

\(2^4 \cdot 2^9\)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\(2^4 \cdot 2^9 = 2^{4+9} = 2^{13}\)

Vậy, \(2^4 \cdot 8^3 = 2^{13}\).

B \(2^{24} : 4^3\)

Lời giải:

Ta cần đưa về cùng cơ số. Ta biến đổi số 4 về cơ số 2.

Ta biết \(4 = 2^2\).

Thay vào biểu thức:

\(2^{24} : 4^3 = 2^{24} : (2^2)^3\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\((2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6\)

Vậy, biểu thức trở thành:

\(2^{24} : 2^6\)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số \(a^m : a^n = a^{m-n}\):

\(2^{24} : 2^6 = 2^{24-6} = 2^{18}\)

Vậy, \(2^{24} : 4^3 = 2^{18}\).

C \( \frac{2^3 \cdot 8^3}{4^5} \)

Lời giải:

Ta cần đưa tất cả các cơ số về cùng một cơ số, ở đây ta chọn cơ số 2.

Ta có: \(8 = 2^3\) và \(4 = 2^2\).

Thay vào biểu thức:

\(\frac{2^3 \cdot (2^3)^3}{(2^2)^5}\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\((2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9\)

\((2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}\)

Biểu thức trở thành:

\(\frac{2^3 \cdot 2^9}{2^{10}}\)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số ở tử số:

\(2^3 \cdot 2^9 = 2^{3+9} = 2^{12}\)

Vậy, biểu thức là:

\(\frac{2^{12}}{2^{10}}\)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

\(\frac{2^{12}}{2^{10}} = 2^{12-10} = 2^2\)

Vậy, \( \frac{2^3 \cdot 8^3}{4^5} = 2^2 \).

Các em thấy không, khi chúng ta nắm vững các quy tắc về lũy thừa, việc giải các bài toán này sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Các em về nhà làm thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức nhé! Cô giáo khen các em đã hoàn thành tốt bài học hôm nay!