Chào các em học sinh lớp 6 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh chia hết khá thú vị. Bài toán này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và áp dụng tính chất chia hết.

Đề bài cho chúng ta như sau:

Cho ba số nguyên \(x, y, z\) thỏa mãn điều kiện \(x+y+z\) chia hết cho 6.

Hãy chứng minh rằng \(A=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz\) chia hết cho 6.

Phân tích bài toán:

Để chứng minh \(A\) chia hết cho 6, chúng ta cần chứng minh \(A\) chia hết cho cả 2 và 3, vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau và \(2 \times 3 = 6\).

Bước 1: Biến đổi biểu thức A

Chúng ta sẽ khai triển và biến đổi biểu thức \(A\) để làm rõ hơn mối quan hệ với điều kiện ban đầu.

Ta có: \(x+y+z\) chia hết cho 6.

Từ điều kiện này, ta có thể biểu diễn:

\(x+y = (x+y+z) – z\)

\(y+z = (x+y+z) – x\)

\(z+x = (x+y+z) – y\)

Thay thế vào biểu thức \(A\):

\(A = ((x+y+z)-z)((x+y+z)-x)((x+y+z)-y) – 2xyz\)

Để đơn giản hóa, giả sử ta đặt \(S = x+y+z\). Khi đó, \(S\) chia hết cho 6.

Biểu thức \(A\) trở thành:

\(A = (S-z)(S-x)(S-y) – 2xyz\)

Bây giờ, chúng ta khai triển biểu thức \((S-z)(S-x)(S-y)\):

\((S-z)(S-x)(S-y) = (S^2 – Sx – Sz + xz)(S-y)\)

\(= S^3 – S^2y – S^2x + Sxy – S^2z + Syz + Szx – xyz\)

\(= S^3 – S^2(x+y+z) + S(xy+yz+zx) – xyz\)

Vì \(S = x+y+z\), nên \(S^2(x+y+z) = S^2 \cdot S = S^3\).

Do đó:

\((S-z)(S-x)(S-y) = S^3 – S^3 + S(xy+yz+zx) – xyz\)

\(= S(xy+yz+zx) – xyz\)

Bây giờ, thay biểu thức này trở lại vào \(A\):

\(A = [S(xy+yz+zx) – xyz] – 2xyz\)

\(A = S(xy+yz+zx) – 3xyz\)

Thay \(S = x+y+z\) trở lại:

\(A = (x+y+z)(xy+yz+zx) – 3xyz\)

Tiếp tục khai triển biểu thức này:

\(A = x(xy+yz+zx) + y(xy+yz+zx) + z(xy+yz+zx) – 3xyz\)

\(A = (x^2y + xyz + x^2z) + (xy^2 + y^2z + xyz) + (xyz + yz^2 + z^2x) – 3xyz\)

\(A = x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + 3xyz – 3xyz\)

\(A = x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x\)

Ta có thể nhóm các hạng tử lại như sau:

\(A = xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x)\)

Đây là một cách biến đổi khác, và chúng ta sẽ sử dụng nó để chứng minh chia hết.

Bước 2: Chứng minh A chia hết cho 2

Chúng ta xét biểu thức ban đầu:

\(A=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz\)

Ta thấy rằng \(2xyz\) luôn chia hết cho 2.

Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh \((x+y)(y+z)(z+x)\) chia hết cho 2.

Ta xét các trường hợp về tính chẵn lẻ của \(x, y, z\).

Trường hợp 1: Cả ba số \(x, y, z\) đều chẵn.

Khi đó, \(x+y\) chẵn, \(y+z\) chẵn, \(z+x\) chẵn. Tích của ba số chẵn sẽ chia hết cho 2.

Trường hợp 2: Hai số chẵn, một số lẻ.

Giả sử \(x\) chẵn, \(y\) chẵn, \(z\) lẻ.

\(x+y\) chẵn.

\(y+z\) lẻ (chẵn + lẻ = lẻ).

\(z+x\) lẻ (lẻ + chẵn = lẻ).

Tích \((x+y)(y+z)(z+x)\) sẽ có dạng: chẵn lẻ lẻ = chẵn. Vậy chia hết cho 2.

Trường hợp 3: Một số chẵn, hai số lẻ.

Giả sử \(x\) chẵn, \(y\) lẻ, \(z\) lẻ.

\(x+y\) lẻ (chẵn + lẻ = lẻ).

\(y+z\) chẵn (lẻ + lẻ = chẵn).

\(z+x\) lẻ (lẻ + chẵn = lẻ).

Tích \((x+y)(y+z)(z+x)\) sẽ có dạng: lẻ chẵn lẻ = chẵn. Vậy chia hết cho 2.

Trường hợp 4: Cả ba số \(x, y, z\) đều lẻ.

\(x+y\) chẵn (lẻ + lẻ = chẵn).

\(y+z\) chẵn (lẻ + lẻ = chẵn).

\(z+x\) chẵn (lẻ + lẻ = chẵn).

Tích \((x+y)(y+z)(z+x)\) sẽ có dạng: chẵn chẵn chẵn = chẵn. Vậy chia hết cho 2.

Trong mọi trường hợp, \((x+y)(y+z)(z+x)\) luôn chia hết cho 2.

Vì \((x+y)(y+z)(z+x)\) chia hết cho 2 và \(2xyz\) chia hết cho 2, nên hiệu của chúng, \(A\), cũng chia hết cho 2.

Bước 3: Chứng minh A chia hết cho 3

Chúng ta sử dụng lại biểu thức đã biến đổi:

\(A = (x+y+z)(xy+yz+zx) – 3xyz\)

Chúng ta được cho là \(x+y+z\) chia hết cho 6, điều này có nghĩa là \(x+y+z\) cũng chia hết cho 3.

Do đó, \((x+y+z)(xy+yz+zx)\) chắc chắn chia hết cho 3.

Ta lại có \(3xyz\) hiển nhiên chia hết cho 3.

Vì cả hai hạng tử trong hiệu \( (x+y+z)(xy+yz+zx) – 3xyz \) đều chia hết cho 3, nên hiệu của chúng, \(A\), cũng chia hết cho 3.

Bước 4: Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng \(A\) chia hết cho 2 và \(A\) chia hết cho 3.

Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(A\) chia hết cho tích của chúng, tức là \(A\) chia hết cho \(2 \times 3 = 6\).

Vậy, ta có điều phải chứng minh: \(A=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz\) chia hết cho 6.

Các em thấy đó, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải khéo léo trong việc biến đổi biểu thức và phân tích dựa trên tính chất chia hết.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!