Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và củng cố kiến thức về các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Các bài tập dưới đây sẽ giúp các em vận dụng các hệ thức cơ bản giữa các tỉ số lượng giác.

Trước khi giải bài, thầy muốn các em nhớ rằng: Do \(\alpha\) là góc nhọn (tức là \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)), nên tất cả các giá trị của \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) đều là các số dương. Đây là điều rất quan trọng để chúng ta không lấy giá trị âm khi tính căn bậc hai nhé!

---

Bài 3: Cho \(\sin\alpha = 3/5\). Tìm \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\), \(\cos\alpha\).

Lời giải:

Chúng ta biết hệ thức cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Bước 1: Tìm \(\cos\alpha\).

Từ hệ thức trên, ta có: \(\cos^2\alpha = 1 – \sin^2\alpha\).

Thay \(\sin\alpha = 3/5\) vào, ta được:

\(\cos^2\alpha = 1 – (3/5)^2\)

\(\cos^2\alpha = 1 – 9/25\)

\(\cos^2\alpha = (25 – 9)/25\)

\(\cos^2\alpha = 16/25\)

Vì \(\alpha\) là góc nhọn, nên \(\cos\alpha > 0\). Do đó:

\(\cos\alpha = \sqrt{16/25} = 4/5\)

Bước 2: Tìm \(\tan\alpha\).

Chúng ta có công thức: \(\tan\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\).

Thay \(\sin\alpha = 3/5\) và \(\cos\alpha = 4/5\) vào, ta được:

\(\tan\alpha = (3/5) / (4/5)\)

\(\tan\alpha = 3/4\)

Bước 3: Tìm \(\cot\alpha\).

Chúng ta có công thức: \(\cot\alpha = 1 / \tan\alpha\) (hoặc \(\cot\alpha = \cos\alpha / \sin\alpha\)).

Sử dụng \(\cot\alpha = 1 / \tan\alpha\):

\(\cot\alpha = 1 / (3/4)\)

\(\cot\alpha = 4/3\)

Kết luận: Với \(\sin\alpha = 3/5\), ta có \(\cos\alpha = 4/5\), \(\tan\alpha = 3/4\) và \(\cot\alpha = 4/3\).

---

Bài 4: Cho \(\cos\alpha = 12/13\). Tìm \(\sin\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\).

Lời giải:

Chúng ta vẫn sử dụng hệ thức cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Bước 1: Tìm \(\sin\alpha\).

Từ hệ thức trên, ta có: \(\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha\).

Thay \(\cos\alpha = 12/13\) vào, ta được:

\(\sin^2\alpha = 1 – (12/13)^2\)

\(\sin^2\alpha = 1 – 144/169\)

\(\sin^2\alpha = (169 – 144)/169\)

\(\sin^2\alpha = 25/169\)

Vì \(\alpha\) là góc nhọn, nên \(\sin\alpha > 0\). Do đó:

\(\sin\alpha = \sqrt{25/169} = 5/13\)

Bước 2: Tìm \(\tan\alpha\).

Công thức: \(\tan\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\).

Thay \(\sin\alpha = 5/13\) và \(\cos\alpha = 12/13\) vào, ta được:

\(\tan\alpha = (5/13) / (12/13)\)

\(\tan\alpha = 5/12\)

Bước 3: Tìm \(\cot\alpha\).

Công thức: \(\cot\alpha = 1 / \tan\alpha\).

Thay \(\tan\alpha = 5/12\) vào, ta được:

\(\cot\alpha = 1 / (5/12)\)

\(\cot\alpha = 12/5\)

Kết luận: Với \(\cos\alpha = 12/13\), ta có \(\sin\alpha = 5/13\), \(\tan\alpha = 5/12\) và \(\cot\alpha = 12/5\).

---

Bài 5: Cho \(\tan\alpha = \sqrt{3}\). Tìm \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\cot\alpha\).

Lời giải:

Chúng ta sẽ sử dụng các hệ thức: \(\cot\alpha = 1/\tan\alpha\) và \(1 + \tan^2\alpha = 1/\cos^2\alpha\).

Bước 1: Tìm \(\cot\alpha\).

Từ công thức \(\cot\alpha = 1 / \tan\alpha\):

\(\cot\alpha = 1 / \sqrt{3}\)

\(\cot\alpha = \sqrt{3}/3\)

Bước 2: Tìm \(\cos\alpha\).

Từ công thức \(1 + \tan^2\alpha = 1/\cos^2\alpha\):

Thay \(\tan\alpha = \sqrt{3}\) vào, ta được:

\(1 + (\sqrt{3})^2 = 1/\cos^2\alpha\)

\(1 + 3 = 1/\cos^2\alpha\)

\(4 = 1/\cos^2\alpha\)

\(\cos^2\alpha = 1/4\)

Vì \(\alpha\) là góc nhọn, nên \(\cos\alpha > 0\). Do đó:

\(\cos\alpha = \sqrt{1/4} = 1/2\)

Bước 3: Tìm \(\sin\alpha\).

Chúng ta có thể dùng \(\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha\) hoặc \(\tan\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\).

Thầy sẽ dùng cách thứ hai cho tiện nhé: \(\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha\).

Thay \(\tan\alpha = \sqrt{3}\) và \(\cos\alpha = 1/2\) vào, ta được:

\(\sin\alpha = \sqrt{3} \cdot (1/2)\)

\(\sin\alpha = \sqrt{3}/2\)

Nhận xét: Các em có nhận ra đây là giá trị của góc nào không? Chính xác, đây là các tỉ số lượng giác của góc \(60^\circ\)! Vậy \(\alpha = 60^\circ\).

Kết luận: Với \(\tan\alpha = \sqrt{3}\), ta có \(\sin\alpha = \sqrt{3}/2\), \(\cos\alpha = 1/2\) và \(\cot\alpha = \sqrt{3}/3\).

---

Bài 6: Cho \(\cot\alpha = 1\). Tìm \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\).

Lời giải:

Chúng ta sẽ sử dụng các hệ thức: \(\tan\alpha = 1/\cot\alpha\) và \(1 + \cot^2\alpha = 1/\sin^2\alpha\).

Bước 1: Tìm \(\tan\alpha\).

Từ công thức \(\tan\alpha = 1 / \cot\alpha\):

\(\tan\alpha = 1 / 1\)

\(\tan\alpha = 1\)

Bước 2: Tìm \(\sin\alpha\).

Từ công thức \(1 + \cot^2\alpha = 1/\sin^2\alpha\):

Thay \(\cot\alpha = 1\) vào, ta được:

\(1 + (1)^2 = 1/\sin^2\alpha\)

\(1 + 1 = 1/\sin^2\alpha\)

\(2 = 1/\sin^2\alpha\)

\(\sin^2\alpha = 1/2\)

Vì \(\alpha\) là góc nhọn, nên \(\sin\alpha > 0\). Do đó:

\(\sin\alpha = \sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2\)

Bước 3: Tìm \(\cos\alpha\).

Chúng ta có thể dùng \(\cos^2\alpha = 1 – \sin^2\alpha\) hoặc \(\cot\alpha = \cos\alpha / \sin\alpha\).

Thầy sẽ dùng cách thứ hai: \(\cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha\).

Thay \(\cot\alpha = 1\) và \(\sin\alpha = \sqrt{2}/2\) vào, ta được:

\(\cos\alpha = 1 \cdot (\sqrt{2}/2)\)

\(\cos\alpha = \sqrt{2}/2\)

Nhận xét: Đây cũng là các tỉ số lượng giác của một góc đặc biệt. Các em có nhớ là góc bao nhiêu không? Đúng rồi, đó là góc \(45^\circ\)! Vậy \(\alpha = 45^\circ\).

Kết luận: Với \(\cot\alpha = 1\), ta có \(\sin\alpha = \sqrt{2}/2\), \(\cos\alpha = \sqrt{2}/2\) và \(\tan\alpha = 1\).

---

Các em thấy không, việc nắm vững các hệ thức cơ bản giữa các tỉ số lượng giác (\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), \(\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha\), \(\cot\alpha = \cos\alpha/\sin\alpha\), \(\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\), \(1 + \tan^2\alpha = 1/\cos^2\alpha\), \(1 + \cot^2\alpha = 1/\sin^2\alpha\)) là chìa khóa để giải quyết các dạng bài này một cách dễ dàng và chính xác. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!

Chúc các em học tốt!