Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tính chia hết nhé.

Đề bài: Chứng minh rằng biểu thức \(x \cdot (2x – 3) – 2x \cdot (x + 1)\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).

Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số, thông thường chúng ta sẽ làm gọn biểu thức đó trước. Cùng bắt đầu nào!

Bước 1: Rút gọn biểu thức đã cho.

Chúng ta có biểu thức:

\(A = x \cdot (2x – 3) – 2x \cdot (x + 1)\)

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức (hay còn gọi là phân phối):

Nhân \(x\) với \((2x – 3)\), ta được:

\(x \cdot (2x – 3) = x \cdot 2x – x \cdot 3 = 2x^2 – 3x\)

Tiếp theo, nhân \(2x\) với \((x + 1)\), ta được:

\(2x \cdot (x + 1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 = 2x^2 + 2x\)

Bây giờ, chúng ta thay các kết quả này trở lại biểu thức \(A\):

\(A = (2x^2 – 3x) – (2x^2 + 2x)\)

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ phía trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc:

\(A = 2x^2 – 3x – 2x^2 – 2x\)

Gộp các hạng tử đồng dạng lại với nhau:

\(A = (2x^2 – 2x^2) + (-3x – 2x)\)

\(A = 0x^2 – 5x\)

\(A = -5x\)

Vậy, sau khi rút gọn, biểu thức ban đầu trở thành \(-5x\).

Bước 2: Chứng minh biểu thức rút gọn chia hết cho 5.

Chúng ta cần chứng minh rằng \(-5x\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).

Một số được gọi là chia hết cho 5 nếu nó có thể viết dưới dạng \(5 \cdot k\), trong đó \(k\) là một số nguyên.

Ở đây, chúng ta có biểu thức \(-5x\). Chúng ta có thể viết lại nó như sau:

\(-5x = 5 \cdot (-x)\)

Vì \(x\) là một số nguyên (theo đề bài), thì \(-x\) cũng là một số nguyên.

Do đó, biểu thức \(-5x\) có dạng \(5 \cdot (\text{một số nguyên})\).

Điều này có nghĩa là \(-5x\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).

Kết luận:

Vì biểu thức ban đầu sau khi rút gọn trở thành \(-5x\), và \(-5x\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\), nên chúng ta có thể kết luận rằng:

Biểu thức \(x \cdot (2x – 3) – 2x \cdot (x + 1)\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).

Thật đơn giản phải không nào? Các em hãy luyện tập thêm các dạng bài này để nắm vững kiến thức nhé!