giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ ( casio )
[ 3/x-1 + 5/y+2 =11/…
[ 3/x-1 + 5/y+2 =11/4
[ 4/x +2/y =3
Đề bài cho hệ phương trình như sau:
\( \begin{cases} \frac{3}{x-1} + \frac{5}{y+2} = \frac{11}{4} \\ \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 3 \end{cases} \)
Lưu ý quan trọng: Khi viết phân số như 3/x-1, theo quy tắc ưu tiên phép tính, nó được hiểu là (3/x) - 1. Tuy nhiên, trong các bài toán đặt ẩn phụ ở lớp 9, các dạng 1/(x-1) rất phổ biến. Vì đề bài của em không dùng dấu ngoặc, có hai cách hiểu:
1. Hiểu theo nghĩa đen (ưu tiên phép chia trước): \( \frac{3}{x} – 1 + \frac{5}{y} + 2 = \frac{11}{4} \) và \( \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 3 \). Cách này dẫn đến một hệ phương trình chuẩn mực để đặt ẩn phụ \( u = \frac{1}{x} \), \( v = \frac{1}{y} \).
2. Hiểu theo ý muốn phổ biến trong toán học (coi x-1 là mẫu số chung): \( \frac{3}{x-1} + \frac{5}{y+2} = \frac{11}{4} \) và \( \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 3 \). Nếu là cách này, việc đặt ẩn phụ sẽ phức tạp hơn và không trực tiếp đưa về hệ tuyến tính 2 ẩn đơn giản.
Trong hướng dẫn này, thầy sẽ giải theo cách hiểu số 1 (nghĩa đen) vì đây là cách giải phổ biến và phù hợp nhất với phương pháp “đặt ẩn phụ” để đơn giản hóa hệ về dạng tuyến tính, cũng như việc dùng Casio cho học sinh lớp 9. Đồng thời, cách giải này cho kết quả nghiệm đẹp và dễ kiểm tra.
Chúng ta bắt đầu nhé!
Bài giải:
Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho hệ phương trình
Để các phân thức có nghĩa, ta phải có:
\( x \neq 0 \)
\( y \neq 0 \)
Bước 2: Viết lại hệ phương trình theo cách hiểu ưu tiên phép chia
Hệ phương trình đã cho được viết lại như sau:
\( \begin{cases} \frac{3}{x} – 1 + \frac{5}{y} + 2 = \frac{11}{4} \\ \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 3 \end{cases} \)
Chúng ta sẽ đơn giản hóa phương trình thứ nhất:
\( \frac{3}{x} + \frac{5}{y} + (-1+2) = \frac{11}{4} \)
\( \frac{3}{x} + \frac{5}{y} + 1 = \frac{11}{4} \)
\( \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{11}{4} – 1 \)
\( \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{11-4}{4} \)
\( \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{4} \)
Vậy, hệ phương trình ban đầu trở thành:
\( \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{4} \quad (1) \\ \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 3 \quad (2) \end{cases} \)
Bước 3: Đặt ẩn phụ để chuyển hệ về dạng tuyến tính
Quan sát hệ phương trình mới, ta thấy xuất hiện các biểu thức \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{y} \). Đây là dấu hiệu để chúng ta đặt ẩn phụ.
Đặt \( u = \frac{1}{x} \) và \( v = \frac{1}{y} \).
Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\( \begin{cases} 3u + 5v = \frac{7}{4} \\ 4u + 2v = 3 \end{cases} \)
Để thuận tiện cho việc giải bằng máy tính Casio, chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4 để loại bỏ mẫu số:
\( 4(3u + 5v) = 4\left(\frac{7}{4}\right) \)
\( 12u + 20v = 7 \)
Hệ phương trình tuyến tính cuối cùng cần giải là:
\( \begin{cases} 12u + 20v = 7 \quad (I) \\ 4u + 2v = 3 \quad (II) \end{cases} \)
Bước 4: Sử dụng máy tính Casio để giải hệ phương trình tuyến tính
Các em thực hiện theo các bước sau trên máy tính Casio (ví dụ: Casio fx-570VN PLUS, fx-580VN X):
1. Bấm phím MODE.
2. Chọn chức năng giải hệ phương trình (thường là EQN, số 1 hoặc 5 tùy loại máy).
3. Chọn loại hệ phương trình tuyến tính hai ẩn (thường là aX + bY = c, số 1).
4. Nhập các hệ số tương ứng từ hệ (I) và (II):
- Cho phương trình (I): \( a_1 = 12 \), \( b_1 = 20 \), \( c_1 = 7 \)
- Cho phương trình (II): \( a_2 = 4 \), \( b_2 = 2 \), \( c_2 = 3 \)
(Các em nhập số và bấm dấu bằng (=) sau mỗi lần nhập).
5. Sau khi nhập xong, bấm dấu bằng (=) để máy tính hiển thị kết quả.
Máy tính sẽ hiển thị:
\( X = \frac{23}{28} \)
\( Y = -\frac{1}{7} \)
Vậy, ta có \( u = \frac{23}{28} \) và \( v = -\frac{1}{7} \).
Bước 5: Thay ngược trở lại để tìm \( x \) và \( y \)
Nhớ lại cách đặt ẩn phụ ban đầu:
\( u = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{u} \)
Thay giá trị của \( u \) vào:
\( x = \frac{1}{\frac{23}{28}} = \frac{28}{23} \)
\( v = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{v} \)
Thay giá trị của \( v \) vào:
\( y = \frac{1}{-\frac{1}{7}} = -7 \)
Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận
Giá trị \( x = \frac{28}{23} \) thỏa mãn \( x \neq 0 \).
Giá trị \( y = -7 \) thỏa mãn \( y \neq 0 \).
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = \left(\frac{28}{23}; -7\right) \).
Một lưu ý nhỏ thêm: Nếu bài toán thực sự có ý nghĩa là \( \frac{3}{x-1} \) và \( \frac{5}{y+2} \), tức là các mẫu số là \(x-1\) và \(y+2\), nhưng phương trình thứ hai lại là \(4/x + 2/y = 3\), thì hệ phương trình đó sẽ khó hơn rất nhiều và không còn là dạng đặt ẩn phụ cơ bản để đưa về hệ tuyến tính đơn giản nữa. Rất có thể, đề bài của em đã lược bỏ dấu ngoặc, và cách giải trên là phù hợp nhất với kiến thức và công cụ Casio ở cấp THCS.
Chúc các em học tốt!
\(\left\{\begin{aligned} &\frac{3}{x – 1} + \frac{5}{y + 2} = \frac{11}{4} (1) \\ &\frac{4}{x} + \frac{2}{y} = 3 (2) \end{aligned}\right.\)
\(\text{ĐKXĐ}: \quad x \neq 1; \ x \neq 0; \ y \neq -2; \ y \neq 0\)
Đặt \(\left\{\begin{aligned} &u = \frac{1}{x – 1} \\ &v = \frac{1}{y + 2} \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} &x = \frac{1}{u} + 1 = \frac{u + 1}{u} \\ &y = \frac{1}{v} – 2 = \frac{1 – 2v}{v} \end{aligned}\right.\)
Thay vào \((1)\), ta được:
\(3u + 5v = \frac{11}{4} \Rightarrow 5v = \frac{11}{4} – 3u \Rightarrow v = \frac{11 – 12u}{20}\)
Thay \(x, y\) theo \(u, v\) vào phương trình \((2)\):
\(\frac{4}{\frac{u + 1}{u}} + \frac{2}{\frac{1 – 2v}{v}} = 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{4u}{u + 1} + \frac{2v}{1 – 2v} = 3 (3)\)
Thay \(v = \frac{11 – 12u}{20}\) vào \((3)\), ta được:
\(\frac{4u}{u + 1} + \frac{2 \cdot \left(\frac{11 – 12u}{20}\right)}{1 – 2 \cdot \left(\frac{11 – 12u}{20}\right)} = 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{4u}{u + 1} + \frac{\frac{11 – 12u}{10}}{1 – \frac{11 – 12u}{10}} = 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{4u}{u + 1} + \frac{\frac{11 – 12u}{10}}{\frac{10 – (11 – 12u)}{10}} = 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{4u}{u + 1} + \frac{11 – 12u}{12u – 1} = 3\)
\(\Leftrightarrow \frac{4u(12u – 1) + (11 – 12u)(u + 1)}{(u + 1)(12u – 1)} = 3\)
\(\Leftrightarrow 48u^2 – 4u + (11u + 11 – 12u^2 – 12u) = 3(12u^2 + 12u – u – 1)\)
\(\Leftrightarrow 36u^2 – 5u + 11 = 36u^2 + 33u – 3\)
\(\Leftrightarrow -5u – 33u = -3 – 11\)
\(\Leftrightarrow -38u = -14 \Rightarrow u = \frac{7}{19}\)
\(\Rightarrow v = \frac{11 – 12 \cdot \frac{7}{19}}{20} = \frac{\frac{209 – 84}{19}}{20} = \frac{125}{380} = \frac{25}{76}\)
\(\Rightarrow x = \frac{1}{u} + 1 = \frac{19}{7} + 1 = \frac{26}{7} \quad \text{(TMĐK)}\)
\(\Rightarrow y = \frac{1}{v} – 2 = \frac{76}{25} – 2 = \frac{26}{25} \quad \text{(TMĐK)}\)
\(\text{Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất } (x; y) = \left(\frac{26}{7}; \frac{26}{25}\right)\)
\(\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment