Bài toán: Nhà Lan có mảnh vườn trồng rau bắp cải, được chia thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng loại bắp cải. Lan tính nếu tăng thêm 8 luống nhưng mỗi luống trong vườn giảm 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống nhưng mỗi luống trong vườn tăng thêm 2 cây thì toàn vườn thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu luống?

Yêu cầu: Chúng ta cần tìm xem ban đầu vườn nhà Lan có bao nhiêu luống bắp cải.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng cần tìm

Để giải bài toán này, chúng ta cần đặt ẩn cho các đại lượng chưa biết. Ở đây, chúng ta cần tìm số luống bắp cải ban đầu.

Gọi số luống bắp cải ban đầu của nhà Lan là \(x\) (luống).

Gọi số cây bắp cải trong mỗi luống ban đầu là \(y\) (cây).

Từ đó, ta có thể tính được tổng số cây bắp cải ban đầu của vườn nhà Lan.

Tổng số cây bắp cải ban đầu = Số luống ban đầu \(\times\) Số cây mỗi luống ban đầu

Tổng số cây bắp cải ban đầu = \(x \times y = xy\) (cây).

Bước 2: Phân tích và lập phương trình cho trường hợp 1

Trường hợp 1: Nếu tăng thêm 8 luống nhưng mỗi luống trong vườn giảm 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây.

Số luống lúc này là: \(x + 8\) (luống)

Số cây mỗi luống lúc này là: \(y – 3\) (cây)

Tổng số cây toàn vườn lúc này là: \((x + 8)(y – 3)\) (cây)

Theo đề bài, số cây toàn vườn lúc này ít đi 54 cây so với ban đầu. Điều này có nghĩa là:

Tổng số cây ban đầu – Tổng số cây lúc này = 54

\(xy – (x + 8)(y – 3) = 54\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển biểu thức này:

\(xy – (xy – 3x + 8y – 24) = 54\)

\(xy – xy + 3x – 8y + 24 = 54\)

\(3x – 8y + 24 = 54\)

\(3x – 8y = 54 – 24\)

Phương trình 1: \(3x – 8y = 30\)

Bước 3: Phân tích và lập phương trình cho trường hợp 2

Trường hợp 2: Nếu giảm đi 4 luống nhưng mỗi luống trong vườn tăng thêm 2 cây thì toàn vườn thêm 32 cây.

Số luống lúc này là: \(x – 4\) (luống)

Số cây mỗi luống lúc này là: \(y + 2\) (cây)

Tổng số cây toàn vườn lúc này là: \((x – 4)(y + 2)\) (cây)

Theo đề bài, toàn vườn thêm 32 cây so với ban đầu. Điều này có nghĩa là:

Tổng số cây lúc này – Tổng số cây ban đầu = 32

\((x – 4)(y + 2) – xy = 32\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển biểu thức này:

\((xy + 2x – 4y – 8) – xy = 32\)

\(xy + 2x – 4y – 8 – xy = 32\)

\(2x – 4y – 8 = 32\)

\(2x – 4y = 32 + 8\)

Phương trình 2: \(2x – 4y = 40\)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):

1) \(3x – 8y = 30\)

2) \(2x – 4y = 40\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, cô sẽ dùng phương pháp cộng đại số.

Nhận thấy ở phương trình 2, tất cả các hệ số đều chẵn, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa:

\(x – 2y = 20\)

Từ đó, ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\):

\(x = 20 + 2y\) (Gọi đây là phương trình 3)

Bây giờ, chúng ta thế phương trình 3 vào phương trình 1:

\(3(20 + 2y) – 8y = 30\)

\(60 + 6y – 8y = 30\)

\(60 – 2y = 30\)

\(-2y = 30 – 60\)

\(-2y = -30\)

\(y = \frac{-30}{-2}\)

\(y = 15\)

Sau khi tìm được giá trị của \(y\), chúng ta thế giá trị này vào phương trình 3 để tìm \(x\):

\(x = 20 + 2y\)

\(x = 20 + 2(15)\)

\(x = 20 + 30\)

\(x = 50\)

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả và trả lời

Chúng ta đã tìm được \(x = 50\) và \(y = 15\). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra xem các giá trị này có thỏa mãn các điều kiện của đề bài không.

Ban đầu: 50 luống, mỗi luống 15 cây. Tổng số cây: \(50 \times 15 = 750\) cây.

Trường hợp 1: Tăng 8 luống (50+8=58 luống), mỗi luống giảm 3 cây (15-3=12 cây). Tổng số cây: \(58 \times 12 = 696\) cây.

Số cây ít đi: \(750 – 696 = 54\) cây. (Thỏa mãn)

Trường hợp 2: Giảm 4 luống (50-4=46 luống), mỗi luống tăng 2 cây (15+2=17 cây). Tổng số cây: \(46 \times 17 = 782\) cây.

Số cây thêm: \(782 – 750 = 32\) cây. (Thỏa mãn)

Vậy, các giá trị chúng ta tìm được là hoàn toàn chính xác.

Trả lời: Vườn nhà Lan trồng ban đầu 50 luống.

Các em thấy không, chỉ cần chúng ta phân tích đề bài thật kỹ, đặt ẩn hợp lý và lập các phương trình chính xác thì mọi bài toán đều có thể giải quyết được. Nếu có chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!