Chúng ta đã học về rất nhiều loại số rồi, đúng không nào? Nào là các số tự nhiên (0, 1, 2, 3,…), rồi đến các số nguyên (\(…, -2, -1, 0, 1, 2, …\)), và gần đây nhất là các số hữu tỉ. Các bạn còn nhớ số hữu tỉ là gì không?

Số hữu tỉ là những số có thể viết được dưới dạng một phân số \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số nguyên và \(b\) phải khác 0. Ví dụ như \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{4}\), \(5\) (có thể viết là \(\frac{5}{1}\)), \(-0.7\) (có thể viết là \(\frac{-7}{10}\)). Khi viết dưới dạng số thập phân, số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn (ví dụ \(0.5\), \(0.75\)) hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ \(\frac{1}{3} = 0.333…\)).

Nhưng hôm nay, chúng ta sẽ gặp gỡ một “loại số” đặc biệt hơn. Có những số mà chúng ta không thể viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) nào cả, và khi viết dưới dạng số thập phân, chúng là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Những số này được gọi là số vô tỉ.

I. Số vô tỉ là gì?

Hãy tưởng tượng chúng ta có một hình vuông có cạnh dài 1 đơn vị. Diện tích của hình vuông này là \(1 \times 1 = 1\) đơn vị vuông. Bây giờ, nếu chúng ta muốn tìm một số mà khi nhân chính nó với chính nó thì ra \(2\), liệu có số nguyên hay số hữu tỉ nào như vậy không?

Chúng ta thử nhé:

• \(1 \times 1 = 1\)
• \(2 \times 2 = 4\)

Vậy cái số chúng ta cần tìm phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2.

Thử với số thập phân:

• \(1.4 \times 1.4 = 1.96\) (Gần 2 rồi!)
• \(1.5 \times 1.5 = 2.25\) (Lớn hơn 2)

Vậy số chúng ta cần tìm phải nằm giữa 1.4 và 1.5. Thử tiếp:

• \(1.41 \times 1.41 = 1.9881\)
• \(1.42 \times 1.42 = 2.0164\)

Nó lại nằm giữa 1.41 và 1.42. Cứ thế, chúng ta sẽ tiếp tục tìm ra các chữ số thập phân tiếp theo (ví dụ \(1.414 \times 1.414 = 1.999396\), \(1.415 \times 1.415 = 2.002225\)).

Điều đặc biệt là quá trình này sẽ không bao giờ kết thúc, và các chữ số thập phân mà chúng ta tìm được không bao giờ lặp lại theo một chu kỳ nhất định. Số này chính là một ví dụ điển hình của số vô tỉ.

Vậy, số vô tỉ là số:
– Không thể viết dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) (với \(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\)).
– Có biểu diễn thập phân là số thập phân vô hạn không tuần hoàn (nghĩa là không kết thúc và không lặp lại theo một chu kỳ nào).

Ví dụ nổi tiếng nhất của số vô tỉ mà chúng ta sẽ gặp nhiều là số \(\pi\) (pi), dùng trong các công thức tính chu vi và diện tích hình tròn. Số \(\pi\) có giá trị xấp xỉ \(3.1415926535…\) và các chữ số của nó cứ tiếp diễn mãi mãi mà không có quy luật lặp lại.

Và số mà chúng ta vừa cố gắng tìm ra ở ví dụ trên, số mà bình phương lên bằng 2, cũng là một số vô tỉ. Số đó được ký hiệu là \(\sqrt{2}\).

II. Căn bậc hai và Căn bậc hai số học

Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu về “căn bậc hai”, một phép toán ngược lại với phép bình phương (mũ 2).

1. Căn bậc hai của một số không âm:

Nếu chúng ta có một số \(a\) không âm (tức là \(a \ge 0\)), thì căn bậc hai của \(a\) là một số \(x\) sao cho \(x^2 = a\).

Ví dụ:

• Tìm căn bậc hai của \(9\). Chúng ta thấy \(3^2 = 9\) và \((-3)^2 = 9\). Vậy, \(9\) có hai căn bậc hai là \(3\) và \(-3\).
• Tìm căn bậc hai của \(0\). Chúng ta thấy \(0^2 = 0\). Vậy, \(0\) có một căn bậc hai là \(0\).
• Tìm căn bậc hai của \(4\). Chúng ta thấy \(2^2 = 4\) và \((-2)^2 = 4\). Vậy, \(4\) có hai căn bậc hai là \(2\) và \(-2\).

Các em lưu ý rằng, chúng ta không thể tìm căn bậc hai của một số âm trong phạm vi số thực mà chúng ta đang học. Ví dụ, không có số thực nào mà bình phương lên bằng \(-4\).

2. Căn bậc hai số học:

Trong hai căn bậc hai của một số dương, bao giờ cũng có một số dương và một số âm. Để thuận tiện cho việc tính toán và sử dụng trong các bài toán hình học (ví dụ như độ dài cạnh, khoảng cách…), người ta định nghĩa một loại căn bậc hai đặc biệt hơn, đó là căn bậc hai số học.

Căn bậc hai số học của một số \(a\) không âm là số không âm \(x\) sao cho \(x^2 = a\).

Ký hiệu căn bậc hai số học là \(\sqrt{a}\) (đọc là “căn a” hoặc “căn bậc hai của a”).

Ví dụ:

• Căn bậc hai số học của \(9\) là \(3\), và chúng ta viết là \(\sqrt{9} = 3\). (Lưu ý: \(\sqrt{9}\) KHÔNG BẰNG \(-3\))
• Căn bậc hai số học của \(0\) là \(0\), và chúng ta viết là \(\sqrt{0} = 0\).
• Căn bậc hai số học của \(4\) là \(2\), và chúng ta viết là \(\sqrt{4} = 2\).

Vậy, khi chúng ta nói “căn bậc hai số học”, chúng ta chỉ lấy giá trị dương (hoặc bằng 0) mà thôi nhé!

III. Số \(\sqrt{2}\)

Quay lại với ví dụ đầu tiên của chúng ta, số mà bình phương lên bằng 2. Đó chính là căn bậc hai số học của 2, và chúng ta ký hiệu là \(\sqrt{2}\).

Số \(\sqrt{2}\) là số dương mà khi bình phương lên sẽ bằng 2. Tức là, \((\sqrt{2})^2 = 2\).

Như chúng ta đã tìm hiểu ở phần “số vô tỉ”, số \(\sqrt{2}\) không phải là một số hữu tỉ. Nó là một số vô tỉ, có giá trị xấp xỉ là \(1.41421356…\) Các chữ số thập phân của \(\sqrt{2}\) kéo dài vô tận và không bao giờ lặp lại theo một chu kỳ nào.

Vì vậy, khi viết \(\sqrt{2}\), chúng ta đang đề cập đến một số chính xác, nhưng khi muốn dùng giá trị thập phân của nó để tính toán, chúng ta thường phải làm tròn (ví dụ \(\sqrt{2} \approx 1.41\) hoặc \(\sqrt{2} \approx 1.414\)).

Tóm tắt lại những điều quan trọng hôm nay:

• Số vô tỉ là số không thể viết dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) và có biểu diễn thập phân là vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ: \(\sqrt{2}\), \(\pi\).
• Căn bậc hai của một số \(a\) không âm là số \(x\) sao cho \(x^2 = a\). Mỗi số dương có hai căn bậc hai (một số dương, một số âm). Ví dụ: căn bậc hai của 9 là 3 và -3.
• Căn bậc hai số học của một số \(a\) không âm là số không âm \(x\) sao cho \(x^2 = a\). Ký hiệu là \(\sqrt{a}\). Ví dụ: \(\sqrt{9} = 3\).
• Số \(\sqrt{2}\) là căn bậc hai số học của 2, nó là một số vô tỉ có giá trị xấp xỉ \(1.414…\).

Các em thấy không, thế giới số học của chúng ta ngày càng mở rộng và thú vị hơn rất nhiều! Đừng ngại hỏi nếu có bất kỳ điều gì còn thắc mắc nhé!