Bài toán: Một người mua hai mặt hàng A và B. Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả 342 nghìn đồng. Nhưng nếu giảm giá cả hai mặt hàng là 10% thì người đó phải trả tất cả 270 nghìn đồng. Tính giá tiền mỗi loại lúc đầu.

Phân tích bài toán:

Chúng ta cần tìm giá tiền ban đầu của hai mặt hàng A và B. Gọi giá tiền ban đầu của mặt hàng A là \(x\) (nghìn đồng) và giá tiền ban đầu của mặt hàng B là \(y\) (nghìn đồng).

Từ đề bài, chúng ta có thể lập hai phương trình tương ứng với hai trường hợp.

Trường hợp 1: Tăng giá

Giá mặt hàng A sau khi tăng 10% là: \(x + 10\%x = x + 0.1x = 1.1x\)

Giá mặt hàng B sau khi tăng 20% là: \(y + 20\%y = y + 0.2y = 1.2y\)

Tổng số tiền phải trả trong trường hợp này là 342 nghìn đồng. Ta có phương trình:

\(1.1x + 1.2y = 342\) (1)

Trường hợp 2: Giảm giá

Giá mặt hàng A sau khi giảm 10% là: \(x – 10\%x = x – 0.1x = 0.9x\)

Giá mặt hàng B sau khi giảm 10% là: \(y – 10\%y = y – 0.1y = 0.9y\)

Tổng số tiền phải trả trong trường hợp này là 270 nghìn đồng. Ta có phương trình:

\(0.9x + 0.9y = 270\) (2)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hệ phương trình:

\begin{cases} 1.1x + 1.2y = 342 \\ 0.9x + 0.9y = 270 \end{cases}

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, thầy sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

Trước hết, ta có thể đơn giản hóa phương trình (2) bằng cách chia cả hai vế cho 0.9:

\(0.9x + 0.9y = 270\)
\(x + y = \frac{270}{0.9}\)
\(x + y = 300\) (3)

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình mới đơn giản hơn:

\begin{cases} 1.1x + 1.2y = 342 \\ x + y = 300 \end{cases}

Từ phương trình (3), ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\) (hoặc ngược lại):

\(x = 300 – y\)

Thế biểu thức của \(x\) vào phương trình (1):

\(1.1(300 – y) + 1.2y = 342\)
\(330 – 1.1y + 1.2y = 342\)
\(0.1y = 342 – 330\)
\(0.1y = 12\)
\(y = \frac{12}{0.1}\)
\(y = 120\)

Vậy, giá tiền ban đầu của mặt hàng B là 120 nghìn đồng.

Bây giờ, chúng ta thế giá trị của \(y\) vào phương trình (3) để tìm \(x\):

\(x + 120 = 300\)
\(x = 300 – 120\)
\(x = 180\)

Vậy, giá tiền ban đầu của mặt hàng A là 180 nghìn đồng.

Kiểm tra lại:

Trường hợp 1: Tăng giá

Giá A tăng: \(180 \times 1.1 = 198\) nghìn đồng

Giá B tăng: \(120 \times 1.2 = 144\) nghìn đồng

Tổng: \(198 + 144 = 342\) nghìn đồng (Khớp với đề bài)

Trường hợp 2: Giảm giá

Giá A giảm: \(180 \times 0.9 = 162\) nghìn đồng

Giá B giảm: \(120 \times 0.9 = 108\) nghìn đồng

Tổng: \(162 + 108 = 270\) nghìn đồng (Khớp với đề bài)

Kết luận:

Giá tiền ban đầu của mặt hàng A là 180 nghìn đồng.

Giá tiền ban đầu của mặt hàng B là 120 nghìn đồng.

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc xác định ẩn số và lập phương trình dựa trên thông tin đề bài là bước quan trọng nhất. Sau đó, chúng ta chỉ cần áp dụng các kỹ năng giải hệ phương trình đã học. Các em có câu hỏi nào không?