Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức lượng giác rất thú vị, sử dụng các công thức nhân đôi và các tính chất cơ bản của hàm số lượng giác.

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

\( P = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ \)

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta hãy quan sát biểu thức đã cho:

\( P = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ \)

Chúng ta nhận thấy ngay rằng \( \cos 60^\circ \) là một giá trị đặc biệt mà chúng ta đã học. Hãy thay giá trị này vào biểu thức để đơn giản hóa:

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

Vậy biểu thức \( P \) sẽ trở thành:

\( P = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 80^\circ \)

\( P = \frac{1}{2} \cdot (\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ) \)

Bây giờ, nhiệm vụ của chúng ta là rút gọn tích \( A = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một kỹ thuật phổ biến, đó là nhân thêm \( \sin(\text{góc nhỏ nhất}) \) vào biểu thức và áp dụng công thức nhân đôi liên tiếp.

Nhắc lại công thức nhân đôi cho hàm sin:
\( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

Từ đó, ta có thể suy ra:
\( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \)

Gọi \( A = \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \).
Chúng ta sẽ nhân cả hai vế của \( A \) với \( \sin 20^\circ \) (là sin của góc nhỏ nhất trong tích này).

\( A \cdot \sin 20^\circ = (\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ) \cdot \sin 20^\circ \)

Sắp xếp lại các thừa số để dễ áp dụng công thức nhân đôi:

\( A \cdot \sin 20^\circ = (\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \)

Áp dụng công thức \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \) với \( x = 20^\circ \):

\( \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 20^\circ) = \frac{1}{2} \sin 40^\circ \)

Thay vào biểu thức của \( A \cdot \sin 20^\circ \):

\( A \cdot \sin 20^\circ = \left( \frac{1}{2} \sin 40^\circ \right) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ \)

\( A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{2} \cdot (\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ) \cdot \cos 80^\circ \)

Tiếp tục áp dụng công thức \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \) với \( x = 40^\circ \):

\( \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2} \sin 80^\circ \)

Thay vào biểu thức:

\( A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 80^\circ \right) \cdot \cos 80^\circ \)

\( A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{4} \cdot (\sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ) \)

Lại một lần nữa, áp dụng công thức \( \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \) với \( x = 80^\circ \):

\( \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 80^\circ) = \frac{1}{2} \sin 160^\circ \)

Thay vào biểu thức:

\( A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 160^\circ \right) \)

\( A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{8} \sin 160^\circ \)

Bây giờ chúng ta cần xử lý \( \sin 160^\circ \). Chúng ta biết rằng \( \sin (180^\circ – x) = \sin x \) (công thức góc bù).

Áp dụng công thức này với \( x = 20^\circ \):

\( \sin 160^\circ = \sin (180^\circ – 20^\circ) = \sin 20^\circ \)

Thay thế vào biểu thức của \( A \cdot \sin 20^\circ \):

\( A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{8} \sin 20^\circ \)

Vì \( 20^\circ \) không phải là bội của \( 180^\circ \), nên \( \sin 20^\circ \neq 0 \). Do đó, chúng ta có thể chia cả hai vế cho \( \sin 20^\circ \):

\( A = \frac{1}{8} \)

Cuối cùng, chúng ta thay giá trị của \( A \) trở lại vào biểu thức ban đầu của \( P \):

\( P = \frac{1}{2} \cdot A \)

\( P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \)

\( P = \frac{1}{16} \)

Kết luận:

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là:

\( \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{16} \)

Các em nhớ ôn tập kỹ các công thức lượng giác, đặc biệt là công thức nhân đôi, vì chúng rất quan trọng trong việc giải các bài toán như thế này nhé!

Chúc các em học tốt!