Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, yêu cầu chúng ta không chỉ tìm được giá trị của tham số mà còn phải hiểu rõ điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Đề bài: Cho hệ phương trình:

\[ \begin{cases} mx + y = 5 \quad (1) \\ 2x – y = 2 \quad (2) \end{cases} \]

Hãy xác định giá trị của tham số \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thỏa mãn điều kiện \(x + y = 12\).

Chúng ta sẽ đi từng bước một nhé!

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tỉ lệ các hệ số của \(x\) và \(y\) khác nhau, tức là:

\[ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \]

Áp dụng vào hệ phương trình của chúng ta:

Từ phương trình (1): \(a_1 = m\), \(b_1 = 1\)

Từ phương trình (2): \(a_2 = 2\), \(b_2 = -1\)

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

\[ \frac{m}{2} \neq \frac{1}{-1} \]

\[ \frac{m}{2} \neq -1 \]

\[ m \neq -1 \cdot 2 \]

\[ m \neq -2 \]

Vậy, điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(m \neq -2\).

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm \(x\) và \(y\) theo \(m\).

Ta sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases} mx + y = 5 \quad (1) \\ 2x – y = 2 \quad (2) \end{cases} \]

Cộng vế theo vế hai phương trình (1) và (2), ta có:

\((mx + y) + (2x – y) = 5 + 2\)

\(mx + 2x = 7\)

Đặt \(x\) làm thừa số chung:

\(x(m + 2) = 7\)

Vì chúng ta đã xác định \(m \neq -2\), nên \(m+2 \neq 0\). Do đó, chúng ta có thể chia cả hai vế cho \((m+2)\):

\[ x = \frac{7}{m+2} \]

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(x\) vào phương trình (2) để tìm \(y\). Phương trình (2) là \(2x – y = 2\).

\[ y = 2x – 2 \]

Thay \(x = \frac{7}{m+2}\) vào biểu thức của \(y\):

\[ y = 2 \left( \frac{7}{m+2} \right) – 2 \]

\[ y = \frac{14}{m+2} – 2 \]

Để đơn giản biểu thức của \(y\), ta quy đồng mẫu số:

\[ y = \frac{14}{m+2} – \frac{2(m+2)}{m+2} \]

\[ y = \frac{14 – 2m – 4}{m+2} \]

\[ y = \frac{10 – 2m}{m+2} \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \(x = \frac{7}{m+2}\) và \(y = \frac{10 – 2m}{m+2}\).

Bước 3: Sử dụng điều kiện \(x + y = 12\) để tìm \(m\).

Theo đề bài, nghiệm của hệ phương trình phải thỏa mãn điều kiện \(x + y = 12\). Ta thay các biểu thức của \(x\) và \(y\) vừa tìm được vào phương trình này:

\[ \frac{7}{m+2} + \frac{10 – 2m}{m+2} = 12 \]

Vì hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử số lại với nhau:

\[ \frac{7 + (10 – 2m)}{m+2} = 12 \]

\[ \frac{17 – 2m}{m+2} = 12 \]

Nhân chéo hai vế (nhớ rằng \(m+2 \neq 0\)):

\(17 – 2m = 12(m+2)\)

\[ 17 – 2m = 12m + 24 \]

Chuyển các số hạng chứa \(m\) về một vế và các hằng số về vế còn lại:

\(-2m – 12m = 24 – 17\)

\(-14m = 7\)

\[ m = \frac{7}{-14} \]

\[ m = -\frac{1}{2} \]

Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện của \(m\).

Chúng ta tìm được \(m = -\frac{1}{2}\).

Ở Bước 1, chúng ta đã xác định điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là \(m \neq -2\).

Vì \(-\frac{1}{2} \neq -2\), giá trị \(m = -\frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện này.

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn \(x+y=12\) là \(m = -\frac{1}{2}\).

Các em nhớ trình bày bài giải một cách rõ ràng, mạch lạc từng bước như thế này để đạt điểm tối đa nhé!