giải hpt
`a) 5/(|x|-2) – 4/(y-6) = 6
-3/(|x|-2) + 8/(y-6) = -5
i) 7/\sqrt{x…
\(a) 5/(|x|-2) – 4/(y-6) = 6
-3/(|x|-2) + 8/(y-6) = -5
i) 7/\sqrt{x-7} – 4/\sqrt{y+6} = 5/3
5/\sqrt{x-7} + 3/\sqrt{y+6} = 13/6
k) 10/\sqrt{12x-3} + 5/\sqrt{4y+1} = 1
7/\sqrt{12x-3} + 8/\sqrt{4y+1} = 1\)
Chúng ta sẽ lần lượt giải từng câu:
Câu a)
Hệ phương trình đã cho là:
\(
\begin{cases}
5/(|x|-2) – 4/(y-6) = 6 \\
-3/(|x|-2) + 8/(y-6) = -5
\end{cases}
\)
Bước 1: Đặt ẩn phụ.
Để đơn giản hóa hệ phương trình, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ.
Đặt \(u = 1/(|x|-2)\) và \(v = 1/(y-6)\).
Điều kiện để có nghiệm: \(|x|-2 \neq 0\) hay \(|x| \neq 2\), và \(y-6 \neq 0\) hay \(y \neq 6\).
Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\(
\begin{cases}
5u – 4v = 6 \quad (1) \\
-3u + 8v = -5 \quad (2)
\end{cases}
\)
Bước 2: Giải hệ phương trình với ẩn phụ \(u\) và \(v\).
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc thế để giải hệ này.
Nhân phương trình (1) với 2:
\(10u – 8v = 12 \quad (3)\)
Cộng phương trình (3) với phương trình (2):
\( (10u – 8v) + (-3u + 8v) = 12 + (-5) \)
\( 7u = 7 \)
\( u = 1 \)
Thay \(u = 1\) vào phương trình (1):
\( 5(1) – 4v = 6 \)
\( 5 – 4v = 6 \)
\( -4v = 6 – 5 \)
\( -4v = 1 \)
\( v = -1/4 \)
Bước 3: Tìm lại \(x\) và \(y\) từ ẩn phụ.
Ta có \(u = 1\), mà \(u = 1/(|x|-2)\):
\( 1/(|x|-2) = 1 \)
\( |x|-2 = 1 \)
\( |x| = 3 \)
Điều này cho ta hai trường hợp:
\( x = 3 \) hoặc \( x = -3 \)
Ta có \(v = -1/4\), mà \(v = 1/(y-6)\):
\( 1/(y-6) = -1/4 \)
\( y-6 = -4 \)
\( y = -4 + 6 \)
\( y = 2 \)
Bước 4: Kiểm tra điều kiện ban đầu.
Với \(x=3\), \(|x|=3 \neq 2\) và \(y=2 \neq 6\). Hệ thỏa mãn.
Với \(x=-3\), \(|x|=3 \neq 2\) và \(y=2 \neq 6\). Hệ thỏa mãn.
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, 2) \) và \( (x, y) = (-3, 2) \).
Câu i)
Hệ phương trình đã cho là:
\(
\begin{cases}
7/\sqrt{x-7} – 4/\sqrt{y+6} = 5/3 \\
5/\sqrt{x-7} + 3/\sqrt{y+6} = 13/6
\end{cases}
\)
Bước 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt \(a = 1/\sqrt{x-7}\) và \(b = 1/\sqrt{y+6}\).
Điều kiện để có nghiệm: \(x-7 > 0 \Rightarrow x > 7\) và \(y+6 > 0 \Rightarrow y > -6\).
Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\(
\begin{cases}
7a – 4b = 5/3 \quad (1′) \\
5a + 3b = 13/6 \quad (2′)
\end{cases}
\)
Bước 2: Giải hệ phương trình với ẩn phụ \(a\) và \(b\).
Nhân phương trình (1′) với 3 và phương trình (2′) với 4 để loại bỏ ẩn \(b\):
\( 21a – 12b = 5 \quad (3′) \)
\( 20a + 12b = 26/3 \quad (4′) \)
Cộng phương trình (3′) và (4′):
\( (21a – 12b) + (20a + 12b) = 5 + 26/3 \)
\( 41a = 15/3 + 26/3 \)
\( 41a = 41/3 \)
\( a = 1/3 \)
Thay \(a = 1/3\) vào phương trình (2′):
\( 5(1/3) + 3b = 13/6 \)
\( 5/3 + 3b = 13/6 \)
\( 3b = 13/6 – 5/3 \)
\( 3b = 13/6 – 10/6 \)
\( 3b = 3/6 \)
\( 3b = 1/2 \)
\( b = 1/6 \)
Bước 3: Tìm lại \(x\) và \(y\) từ ẩn phụ.
Ta có \(a = 1/3\), mà \(a = 1/\sqrt{x-7}\):
\( 1/\sqrt{x-7} = 1/3 \)
\( \sqrt{x-7} = 3 \)
Bình phương hai vế:
\( x-7 = 9 \)
\( x = 16 \)
Ta có \(b = 1/6\), mà \(b = 1/\sqrt{y+6}\):
\( 1/\sqrt{y+6} = 1/6 \)
\( \sqrt{y+6} = 6 \)
Bình phương hai vế:
\( y+6 = 36 \)
\( y = 30 \)
Bước 4: Kiểm tra điều kiện ban đầu.
Với \(x=16\), ta có \(x > 7\) (16 > 7). Với \(y=30\), ta có \(y > -6\) (30 > -6). Các điều kiện đều thỏa mãn.
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (16, 30) \).
Câu k)
Hệ phương trình đã cho là:
\(
\begin{cases}
10/\sqrt{12x-3} + 5/\sqrt{4y+1} = 1 \\
7/\sqrt{12x-3} + 8/\sqrt{4y+1} = 1
\end{cases}
\)
Bước 1: Đặt ẩn phụ.
Đặt \(p = 1/\sqrt{12x-3}\) và \(q = 1/\sqrt{4y+1}\).
Điều kiện để có nghiệm: \(12x-3 > 0 \Rightarrow 12x > 3 \Rightarrow x > 1/4\) và \(4y+1 > 0 \Rightarrow 4y > -1 \Rightarrow y > -1/4\).
Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\(
\begin{cases}
10p + 5q = 1 \quad (1”) \\
7p + 8q = 1 \quad (2”)
\end{cases}
\)
Bước 2: Giải hệ phương trình với ẩn phụ \(p\) và \(q\).
Nhân phương trình (1”) với 8 và phương trình (2”) với 5 để loại bỏ ẩn \(q\):
\( 80p + 40q = 8 \quad (3”) \)
\( 35p + 40q = 5 \quad (4”) \)
Trừ phương trình (4”) cho phương trình (3”):
\( (35p + 40q) – (80p + 40q) = 5 – 8 \)
\( -45p = -3 \)
\( p = -3 / -45 \)
\( p = 1/15 \)
Thay \(p = 1/15\) vào phương trình (1”):
\( 10(1/15) + 5q = 1 \)
\( 10/15 + 5q = 1 \)
\( 2/3 + 5q = 1 \)
\( 5q = 1 – 2/3 \)
\( 5q = 1/3 \)
\( q = 1/15 \)
Bước 3: Tìm lại \(x\) và \(y\) từ ẩn phụ.
Ta có \(p = 1/15\), mà \(p = 1/\sqrt{12x-3}\):
\( 1/\sqrt{12x-3} = 1/15 \)
\( \sqrt{12x-3} = 15 \)
Bình phương hai vế:
\( 12x-3 = 15^2 \)
\( 12x-3 = 225 \)
\( 12x = 228 \)
\( x = 228 / 12 \)
\( x = 19 \)
Ta có \(q = 1/15\), mà \(q = 1/\sqrt{4y+1}\):
\( 1/\sqrt{4y+1} = 1/15 \)
\( \sqrt{4y+1} = 15 \)
Bình phương hai vế:
\( 4y+1 = 15^2 \)
\( 4y+1 = 225 \)
\( 4y = 224 \)
\( y = 224 / 4 \)
\( y = 56 \)
Bước 4: Kiểm tra điều kiện ban đầu.
Với \(x=19\), ta có \(x > 1/4\) (19 > 1/4). Với \(y=56\), ta có \(y > -1/4\) (56 > -1/4). Các điều kiện đều thỏa mãn.
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (19, 56) \).
Các em thấy đấy, khi gặp các hệ phương trình có dạng phức tạp, việc đặt ẩn phụ là một phương pháp rất hiệu quả để đưa bài toán về dạng quen thuộc hơn. Các em hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo kỹ năng này nhé!
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.
\(\text{Đáp án + Giải thích các bước giải:}\)
\(a)\)
\(\left\{\begin{aligned} \dfrac{5}{|x| – 2} – \dfrac{4}{y – 6} &= 6 \\ -\dfrac{3}{|x| – 2} + \dfrac{8}{y – 6} &= -5 \end{aligned}\right.\)
ĐK: \(|x| \ne 2 \Leftrightarrow x \ne \pm 2\) và \(y \ne 6\)
Đặt \(a = \dfrac{1}{|x| – 2}\) và \(b = \dfrac{1}{y – 6}\), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{\begin{aligned} 5a – 4b &= 6 \\ -3a + 8b &= -5 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 10a – 8b &= 12 \\ -3a + 8b &= -5 \end{aligned}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 7a &= 7 \Rightarrow a = 1 \\ 5(1) – 4b &= 6 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} a &= 1 \\ -4b &= 1 \Rightarrow b = -\dfrac{1}{4} \end{aligned}\right.\)
Trả lại ẩn \(x, y\):
* Với \(a = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{|x| – 2} = 1 \Leftrightarrow |x| – 2 = 1 \Leftrightarrow |x| = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3 \text{ (TMĐK)}\)
* Với \(b = -\dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{y – 6} = -\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow y – 6 = -4 \Leftrightarrow y = 2 \text{ (TMĐK)}\)
Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm \((x; y)\) là: \((3; 2)\) và \((-3; 2)\).
\(i)\)
\(\left\{\begin{aligned} \dfrac{7}{\sqrt{x – 7}} – \dfrac{4}{\sqrt{y + 6}} &= \dfrac{5}{3} \\ \dfrac{5}{\sqrt{x – 7}} + \dfrac{3}{\sqrt{y + 6}} &= \dfrac{13}{6} \end{aligned}\right.\)
ĐK: \(x > 7\) và \(y > -6\)
Đặt \(a = \dfrac{1}{\sqrt{x – 7}}\) (\(a > 0\)) và \(b = \dfrac{1}{\sqrt{y + 6}}\) (\(b > 0\)), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{\begin{aligned} 7a – 4b &= \dfrac{5}{3} \\ 5a + 3b &= \dfrac{13}{6} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 21a – 12b &= 5 \\ 20a + 12b &= \dfrac{26}{3} \end{aligned}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 41a &= 5 + \dfrac{26}{3} = \dfrac{41}{3} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3} \\ 5\left(\dfrac{1}{3}\right) + 3b &= \dfrac{13}{6} \end{aligned}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{3} \\ 3b &= \dfrac{13}{6} – \dfrac{5}{3} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{6} \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK } a, b > 0)\)
Trả lại ẩn \(x, y\):
* Với \(a = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x – 7}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x – 7} = 3 \Leftrightarrow x – 7 = 9 \Leftrightarrow x = 16 \text{ (TMĐK)}\)
* Với \(b = \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{y + 6}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \sqrt{y + 6} = 6 \Leftrightarrow y + 6 = 36 \Leftrightarrow y = 30 \text{ (TMĐK)}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (16; 30)\).
\(k)\)
\(\left\{\begin{aligned} \dfrac{10}{\sqrt{12x – 3}} + \dfrac{5}{\sqrt{4y + 1}} &= 1 \\ \dfrac{7}{\sqrt{12x – 3}} + \dfrac{8}{\sqrt{4y + 1}} &= 1 \end{aligned}\right.\)
ĐK: \(12x – 3 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}\) và \(4y + 1 > 0 \Leftrightarrow y > -\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(a = \dfrac{1}{\sqrt{12x – 3}}\) (\(a > 0\)) và \(b = \dfrac{1}{\sqrt{4y + 1}}\) (\(b > 0\)), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{\begin{aligned} 10a + 5b &= 1 \\ 7a + 8b &= 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 80a + 40b &= 8 \\ 35a + 40b &= 5 \end{aligned}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} 45a &= 3 \Rightarrow a = \dfrac{1}{15} \\ 10\left(\dfrac{1}{15}\right) + 5b &= 1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} a &= \dfrac{1}{15} \\ \dfrac{2}{3} + 5b &= 1 \Rightarrow 5b = \dfrac{1}{3} \Rightarrow b = \dfrac{1}{15} \end{aligned}\right. \text{ (TMĐK } a, b > 0)\)
Trả lại ẩn \(x, y\):
* Với \(a = \dfrac{1}{15} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{12x – 3}} = \dfrac{1}{15} \Leftrightarrow \sqrt{12x – 3} = 15 \Leftrightarrow 12x – 3 = 225 \Leftrightarrow 12x = 228 \Leftrightarrow x = 19 \text{ (TMĐK)}\)
* Với \(b = \dfrac{1}{15} \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{4y + 1}} = \dfrac{1}{15} \Leftrightarrow \sqrt{4y + 1} = 15 \Leftrightarrow 4y + 1 = 225 \Leftrightarrow 4y = 224 \Leftrightarrow y = 56 \text{ (TMĐK)}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x; y) = (19; 56)\)
\(\color{#006600}{k}\color{#008800}{i}\color{#00AA00}{l}\color{#00CC00}{l}\color{#00EE00}{u}\color{#00FF00}{a}\color{#33FF33}{r}\color{#55FF55}{2}\color{#22FF22}{0}\color{#00FF00}{5}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment