mn giúp e câu này vs ạ e camon
Câu 9. Một thiết bị phổ biến để giải trí cho trẻ …
Câu 9. Một thiết bị phổ biến để giải trí cho trẻ mới biết đi là ghế nhảy treo vào phần nằm ngang của khung cửa bằng dây dẫn đàn hồi. Giả sử chỉ có một sợi dây ở mỗi bên, ban đầu dây chưa biến dạng. Khi một đứa trẻ được đặt vào ghế, cả hai dây đều hạ xuống một khoảng cách d, khi đó các dây kéo dài thêm (co giãn như lò xo). Sau đó, ghế được kéo xuống thêm một khoảng cách d_m = 10\text{ cm} và thả ra, do đó đứa trẻ dao động theo phương thẳng đứng. Kỹ sư an toàn không muốn độ lớn gia tốc của đứa trẻ vượt quá 0{,}2g (với g là gia tốc trong trường). Giá trị nào của d (theo \text{cm}) tương ứng với độ lớn gia tốc đó?
Đề bài
Một thiết bị phổ biến để giải trí cho trẻ mới biết đi là ghế nhảy treo vào phần nằm ngang của khung cửa bằng dây dẫn đàn hồi. Giả sử chỉ có một sợi dây ở mỗi bên, ban đầu dây chưa biến dạng. Khi một đứa trẻ được đặt vào ghế, cả hai dây đều hạ xuống một khoảng cách d, khi đó các dây kéo dài thêm (co giãn như lò xo). Sau đó, ghế được kéo xuống thêm một khoảng cách \(d_m = 10\text{ cm}\) và thả ra, do đó đứa trẻ dao động theo phương thẳng đứng. Kỹ sư an toàn không muốn độ lớn gia tốc của đứa trẻ vượt quá \(0,2g\) (với g là gia tốc trọng trường). Giá trị nào của d (theo cm) tương ứng với độ lớn gia tốc đó?
Phân tích bài toán
Chúng ta có một hệ thống gồm ghế, trẻ em và hai sợi dây đàn hồi. Khi trẻ ngồi vào ghế, dây giãn ra một đoạn d. Sau đó, ghế được kéo thêm một đoạn \(d_m\) và thả ra, gây ra dao động. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm độ dài ban đầu mà dây giãn ra (d) để gia tốc của trẻ không vượt quá một giới hạn nhất định.
Các bước giải
Chúng ta sẽ phân tích bài toán theo các bước sau:
- Xác định vị trí cân bằng của hệ thống.
- Thiết lập phương trình chuyển động của hệ thống, nhận ra đây là dao động điều hòa.
- Tìm mối liên hệ giữa biên độ dao động, tần số góc và gia tốc cực đại.
- Áp dụng điều kiện của kỹ sư an toàn để tìm giá trị của d.
Bước 1: Xác định vị trí cân bằng
Khi trẻ ngồi vào ghế và dây giãn ra một đoạn d, hệ thống đạt trạng thái cân bằng. Ở vị trí này, lực đàn hồi của hai sợi dây cân bằng với trọng lực của ghế và trẻ.
Giả sử khối lượng của ghế và trẻ là m.
Độ giãn ban đầu của mỗi dây là d.
Gọi k là độ cứng của mỗi sợi dây đàn hồi.
Lực đàn hồi của mỗi dây là \(F_{dh1} = k \cdot d\).
Tổng lực đàn hồi của hai dây là \(2 F_{dh1} = 2kd\).
Trọng lực của hệ là \(P = mg\).
Tại vị trí cân bằng, ta có: \(2kd = mg\). (1)
Bước 2: Thiết lập phương trình chuyển động và nhận ra dao động điều hòa
Khi ghế được kéo xuống thêm một khoảng \(d_m\) và thả ra, hệ bắt đầu dao động. Hãy xem xét một vị trí bất kỳ của ghế cách vị trí cân bằng một đoạn x (x dương khi đi xuống).
Độ giãn của mỗi dây tại vị trí này là \(d+x\).
Lực đàn hồi của mỗi dây là \(F_{dh2} = k(d+x)\).
Tổng lực đàn hồi của hai dây là \(2F_{dh2} = 2k(d+x) = 2kd + 2kx\).
Phương trình định luật II Newton cho hệ là:
\(P – 2F_{dh2} = m \cdot a\)
\(mg – (2kd + 2kx) = m \cdot a\)
Thay \(mg = 2kd\) từ phương trình (1) vào:
\(2kd – 2kd – 2kx = m \cdot a\)
\(-2kx = m \cdot a\)
Chúng ta biết rằng gia tốc a trong dao động điều hòa có dạng \(a = -\omega^2 x\), trong đó \(\omega\) là tần số góc.
So sánh hai phương trình, ta có:
\(-2kx = m \cdot (-\omega^2 x)\)
\(2kx = m \omega^2 x\)
Do đó, \(\omega^2 = \frac{2k}{m}\).
Từ \(2kd = mg\), ta có \(m = \frac{2kd}{g}\).
Thay m vào biểu thức của \(\omega^2\):
\(\omega^2 = \frac{2k}{\frac{2kd}{g}} = \frac{2k \cdot g}{2kd} = \frac{g}{d}\).
Vậy, tần số góc của dao động là \(\omega = \sqrt{\frac{g}{d}}\).
Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa biên độ dao động, tần số góc và gia tốc cực đại
Khi ghế được kéo xuống thêm một khoảng \(d_m\) rồi thả ra, \(d_m\) chính là biên độ dao động A của hệ.
Ta có \(A = d_m = 10\text{ cm}\).
Gia tốc cực đại trong dao động điều hòa được cho bởi công thức \(a_{max} = \omega^2 A\).
Thay \(\omega^2 = \frac{g}{d}\) và \(A = d_m\) vào công thức này:
\(a_{max} = \frac{g}{d} \cdot d_m\).
Bước 4: Áp dụng điều kiện của kỹ sư an toàn để tìm giá trị của d
Kỹ sư an toàn không muốn độ lớn gia tốc của đứa trẻ vượt quá \(0,2g\). Điều này có nghĩa là gia tốc cực đại \(a_{max}\) phải nhỏ hơn hoặc bằng \(0,2g\).
\(a_{max} \le 0,2g\)
Thay biểu thức của \(a_{max}\) vào:
\(\frac{g}{d} \cdot d_m \le 0,2g\)
Ta có thể triệt tiêu g ở cả hai vế (vì g > 0):
\(\frac{d_m}{d} \le 0,2\)
Để tìm giá trị của d, ta có thể viết lại bất đẳng thức này như sau:
\(d_m \le 0,2d\)
Hoặc
\(d \ge \frac{d_m}{0,2}\)
Thay \(d_m = 10\text{ cm}\) vào:
\(d \ge \frac{10\text{ cm}}{0,2}\)
\(d \ge 50\text{ cm}\)
Kết luận
Vậy, để độ lớn gia tốc của đứa trẻ không vượt quá \(0,2g\), giá trị của d phải lớn hơn hoặc bằng 50 cm.
Đáp số của bài toán là d = 50 cm.
Các em có câu hỏi nào không? Nếu có, đừng ngần ngại hỏi nhé!
Tần số góc của hệ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng:
\(\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}} = \sqrt{\frac{g}{d}}\)
Độ lớn gia tốc cực đại của trẻ:
\(a_{\max} = \omega^2 A = \frac{g}{d} \cdot d_m\)
Theo yêu cầu an toàn:
\(a_{\max} \le 0,2g \)
\(=>\frac{g}{d} \cdot d_m \le 0,2g\)
\(=>\frac{d_m}{d} \le 0,2 \)
\(=>d \ge \frac{d_m}{0,2}\)
Thay \(d_m = 10\text{ cm}\):
\(d \ge \frac{10}{0,2} = 50\text{cm}\)
Vị trí cân bằng tĩnh: Tổng lực đàn hồi cân bằng với trọng lực:
\(2k * d = mg\)
\((2k)/(m) = (g)/(d)\)
\(omega^(2) = (2k)/(m) = (g)/(d)\)
\(A = d_m = 10 cm\)
\(a_(max) = omega^(2) * A = (g * A)/(d)\)
\((g * A)/(d) = 0,2g\)
\(d = (A)/(0,2) = 5 * A\)
\(d = 5 * 10 = 50cm\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment