Chào các em học sinh lớp 10 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị liên quan đến sự bảo toàn động lượng và chuyển động ném xiên. Đây là một dạng bài điển hình giúp chúng ta củng cố kiến thức về hệ kín và chuyển động của vật thể.

Đề bài: Một người khối lượng \(M = 50\text{kg}\) đứng ở đầu mép A của một tấm ván mỏng khối lượng \(m = 10\text{kg}\) dài \(l = 3\text{m}\) đặt trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang. Người này bắt đầu thực hiện cú bật nhảy xa để sao cho người rơi xuống thì chạm vào mép B của tấm ván. Bỏ qua sức cản của không khí, coi người là chất điểm. Lấy \(g = 10\text{m/s}^2\). Tốc độ (đơn vị m/s) ban đầu tối thiểu để cú nhảy được thành công là bao nhiêu? (Làm tròn lấy đến 2 số thập phân).

Chúng ta cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

1. Hệ khảo sát: Hệ gồm người và tấm ván.
2. Các lực tác dụng: Lực hấp dẫn, phản lực của mặt phẳng ngang. Theo phương ngang, không có lực ma sát (mặt phẳng nhẵn) và không có lực cản của không khí.
3. Nguyên tắc áp dụng: Vì không có ngoại lực tác dụng theo phương ngang lên hệ, nên động lượng của hệ theo phương ngang được bảo toàn. Đồng thời, chuyển động của người là chuyển động ném xiên.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí khối tâm của hệ và áp dụng định luật bảo toàn vị trí khối tâm.

Chọn hệ trục tọa độ với gốc O tại vị trí ban đầu của mép A của tấm ván. Ban đầu, người đứng ở A, nên tọa độ của người là \(x_P(0) = 0\). Tấm ván có khối tâm ở giữa, tức là tại \(x_{ván,CM}(0) = l/2\).

Vị trí khối tâm của hệ (người + ván) ban đầu là:

\(x_{CM}(0) = \frac{M \cdot x_P(0) + m \cdot x_{ván,CM}(0)}{M + m}\)

\(x_{CM}(0) = \frac{M \cdot 0 + m \cdot (l/2)}{M + m} = \frac{ml}{2(M+m)}\)

Vì mặt phẳng ngang nhẵn, không có ngoại lực tác dụng theo phương ngang lên hệ, nên vị trí khối tâm của hệ sẽ không thay đổi trong suốt quá trình người nhảy và tấm ván di chuyển.

Do đó: \(x_{CM}(t) = x_{CM}(0)\) (với mọi thời điểm \(t\)).

Khi người nhảy và chạm vào mép B của tấm ván, gọi \(x_A’\) là vị trí mới của mép A của tấm ván so với gốc O. Lúc này, người đang ở mép B, nên tọa độ của người là \(x_P(t) = x_A’ + l\). Khối tâm của tấm ván lúc này ở vị trí \(x_{ván,CM}(t) = x_A’ + l/2\).

Vị trí khối tâm của hệ tại thời điểm người chạm mép B là:

\(x_{CM}(t) = \frac{M \cdot x_P(t) + m \cdot x_{ván,CM}(t)}{M + m}\)

\(x_{CM}(t) = \frac{M (x_A’ + l) + m (x_A’ + l/2)}{M + m}\)

Áp dụng bảo toàn vị trí khối tâm:

\(\frac{ml}{2(M+m)} = \frac{M (x_A’ + l) + m (x_A’ + l/2)}{M + m}\)

Nhân cả hai vế với \((M+m)\):

\(\frac{ml}{2} = M x_A’ + Ml + m x_A’ + \frac{ml}{2}\)

\(0 = (M+m) x_A’ + Ml\)

\(x_A’ = -\frac{Ml}{M+m}\)

Giá trị \(x_A’\) âm cho thấy tấm ván đã trượt về phía sau (ngược chiều dương so với chiều người nhảy). Quãng đường tấm ván trượt là \(|x_A’| = \frac{Ml}{M+m}\).

Quãng đường mà người đã bay theo phương ngang (so với mặt đất) chính là tọa độ cuối cùng của người: \(X = x_P(t) = x_A’ + l\)

\(X = -\frac{Ml}{M+m} + l = \frac{-Ml + l(M+m)}{M+m} = \frac{-Ml + Ml + ml}{M+m} = \frac{ml}{M+m}\)

Vậy, người phải bay được một quãng đường ngang so với mặt đất là \(X = \frac{ml}{M+m}\).

Bước 2: Phân tích chuyển động ném xiên của người.

Gọi tốc độ ban đầu của người khi nhảy là \(v_0\) và góc ném xiên so với phương ngang là \(\alpha\).

Các phương trình chuyển động của người (coi là chất điểm):

• Phương ngang: \(x = (v_0 \cos \alpha) t\)
• Phương thẳng đứng: \(y = (v_0 \sin \alpha) t – \frac{1}{2}gt^2\)

Để cú nhảy thành công, người phải rơi xuống mép B, tức là người kết thúc chuyển động trên mặt ngang, vậy \(y = 0\). Thời gian bay \(t\) là:

\((v_0 \sin \alpha) t – \frac{1}{2}gt^2 = 0 \Rightarrow t(v_0 \sin \alpha – \frac{1}{2}gt) = 0\)

Vì \(t \ne 0\), nên \(t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\).

Tầm bay xa theo phương ngang của người là \(X\):

\(X = (v_0 \cos \alpha) t = (v_0 \cos \alpha) \left(\frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\right)\)

\(X = \frac{v_0^2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\)

Bước 3: Tìm tốc độ ban đầu tối thiểu.

Từ Bước 1, chúng ta có quãng đường người cần bay là \(X = \frac{ml}{M+m}\).

Vậy, ta có phương trình:

\(\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{ml}{M+m}\)

Từ đó, ta rút ra biểu thức cho \(v_0^2\):

\(v_0^2 = \frac{gml}{(M+m)\sin(2\alpha)}\)

Để tốc độ ban đầu \(v_0\) là tối thiểu, mẫu số \(\sin(2\alpha)\) phải đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của \(\sin(2\alpha)\) là 1, khi \(2\alpha = 90^\circ\) hay \(\alpha = 45^\circ\).

Khi đó, tốc độ ban đầu tối thiểu là:

\(v_0 = \sqrt{\frac{gml}{M+m}}\)

Bước 4: Thay số và tính toán.

Các giá trị đã cho:

• Khối lượng người \(M = 50\text{kg}\)
• Khối lượng ván \(m = 10\text{kg}\)
• Chiều dài ván \(l = 3\text{m}\)
• Gia tốc trọng trường \(g = 10\text{m/s}^2\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(v_0 = \sqrt{\frac{10 \cdot 10 \cdot 3}{50 + 10}}\)

\(v_0 = \sqrt{\frac{300}{60}}\)

\(v_0 = \sqrt{5}\)

Tính giá trị xấp xỉ:

\(v_0 \approx 2.23606…\text{ m/s}\)

Làm tròn đến 2 số thập phân, ta được:

\(v_0 \approx 2.24\text{ m/s}\)

Kết luận:

Tốc độ ban đầu tối thiểu để cú nhảy được thành công là \(2.24\text{ m/s}\). Cú nhảy này phải được thực hiện với góc ném là \(45^\circ\) so với phương ngang để đạt tầm xa tối đa với cùng một tốc độ ban đầu.

Hy vọng các em đã hiểu rõ bài giải này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!