—

Đề bài: Một ống thủy tinh tiết diện đều có chiều dài 60 cm gồm một đầu kín, một đầu hở hướng lên, trong ống có cột không khí ngăn cách với bên ngoài bằng cột thủy ngân dài 40cm, cột thủy ngân bằng miệng ống. Khi ống thẳng đứng miệng ở dưới thì một phần thủy ngân chảy ra ngoài. Tìm cột thủy ngân còn lại trong ống. Biết áp suất khí quyển là 80 cmHg.

b, chiều dài tối thiểu của ống để toàn bộ cột thuỷ ngân không chảy ra ngoài.

—

Phân tích và giải quyết:

Trước hết, chúng ta hãy tóm tắt các thông số đã cho và xác định các trạng thái của cột khí trong ống.

• Chiều dài ống thủy tinh ban đầu: \(L = 60\) cm
• Chiều dài cột thủy ngân ban đầu: \(h_{Hg} = 40\) cm
• Áp suất khí quyển: \(P_0 = 80\) cmHg
• Tiết diện ống đều, gọi là \(S\).
• Nhiệt độ không đổi trong suốt quá trình.

Trạng thái 1: Ống thẳng đứng, đầu hở hướng lên.

Trong trạng thái này, cột thủy ngân nằm trên cột không khí và bằng miệng ống. Điều này có nghĩa là cột không khí nằm ở phía dưới, bị cột thủy ngân đè lên. Cột thủy ngân tiếp xúc với không khí bên ngoài tại miệng ống.

Ta có:

• Chiều dài cột không khí: \(l_1 = L – h_{Hg} = 60 – 40 = 20\) cm.
• Áp suất của cột không khí: Áp suất của cột không khí chính là áp suất khí quyển cộng thêm áp suất do cột thủy ngân gây ra.
  
  \(P_1 = P_0 + h_{Hg}\)
  
  \(P_1 = 80 \text{ cmHg} + 40 \text{ cmHg} = 120 \text{ cmHg}\).
• Thể tích cột không khí: \(V_1 = l_1 \cdot S = 20S\).

a, Tìm cột thủy ngân còn lại trong ống khi ống thẳng đứng miệng ở dưới.

Trạng thái 2: Ống thẳng đứng, đầu hở hướng xuống.

Trong trạng thái này, ống bị lật ngược. Một phần thủy ngân chảy ra ngoài. Gọi \(h’\) là chiều dài cột thủy ngân còn lại trong ống.

Khi ống thẳng đứng miệng ở dưới, cột thủy ngân có xu hướng chảy ra ngoài do trọng lực, nhưng áp suất của cột không khí bên trong ống và áp suất khí quyển sẽ giữ nó lại.

Ta có:

• Chiều dài cột thủy ngân còn lại: \(h’\) cm.
• Chiều dài cột không khí mới: \(l_2 = L – h’ = 60 – h’\) cm.
• Áp suất của cột không khí: Cột không khí sẽ giữ cột thủy ngân lại, chống lại áp suất khí quyển. Do đó, áp suất của cột không khí phải nhỏ hơn áp suất khí quyển một lượng bằng áp suất do cột thủy ngân gây ra.
  
  \(P_2 = P_0 – h’ = 80 – h’\) cmHg.
  
  (Lưu ý: Để cột thủy ngân không chảy hết ra ngoài, \(P_2\) phải dương, tức là \(80 > h’\)).
• Thể tích cột không khí: \(V_2 = l_2 \cdot S = (60 – h’)S\).

Vì khối lượng khí không đổi và nhiệt độ không đổi, ta áp dụng định luật Boyle-Mariotte:

\(P_1 V_1 = P_2 V_2\)

Thay các giá trị vào:

\(120 \cdot (20S) = (80 – h’) \cdot (60 – h’)S\)

Chúng ta có thể triệt tiêu \(S\) ở cả hai vế:

\(120 \cdot 20 = (80 – h’) (60 – h’)\)

\(2400 = 4800 – 80h’ – 60h’ + (h’)^2\)

\((h’)^2 – 140h’ + 2400 = 0\)

Giải phương trình bậc hai này:

\(\Delta = (-140)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 19600 – 9600 = 10000\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{10000} = 100\)

Các nghiệm của phương trình là:

\(h’_1 = \frac{140 + 100}{2} = \frac{240}{2} = 120\) cm

\(h’_2 = \frac{140 – 100}{2} = \frac{40}{2} = 20\) cm

Chúng ta cần kiểm tra tính hợp lệ của các nghiệm:

• \(h’_1 = 120\) cm: Giá trị này lớn hơn cả chiều dài ống (60 cm) và chiều dài cột thủy ngân ban đầu (40 cm). Điều này là vô lý vì một phần thủy ngân đã chảy ra ngoài.
• \(h’_2 = 20\) cm: Giá trị này nhỏ hơn chiều dài ống (60 cm) và chiều dài cột thủy ngân ban đầu (40 cm), và nhỏ hơn \(P_0\) (80 cmHg) nên \(P_2\) là dương. Điều này hợp lý.

Vậy, cột thủy ngân còn lại trong ống là 20 cm.

—

b, Chiều dài tối thiểu của ống để toàn bộ cột thuỷ ngân không chảy ra ngoài.

Để toàn bộ cột thủy ngân không chảy ra ngoài khi ống được lật ngược (miệng xuống dưới), chiều dài cột thủy ngân vẫn phải là \(h_{Hg} = 40\) cm.

Chúng ta cần tìm một chiều dài ống tối thiểu mới, gọi là \(L_{min}\), để chứa lượng khí và thủy ngân ban đầu mà không bị tràn.

Trạng thái A (Trạng thái ban đầu của lượng khí): Lượng khí này đến từ ống 60 cm ban đầu.

• Chiều dài cột không khí: \(l_A = L – h_{Hg} = 60 – 40 = 20\) cm.
• Áp suất của cột không khí: \(P_A = P_0 + h_{Hg} = 80 + 40 = 120\) cmHg.

Trạng thái B (Trạng thái khi ống mới có chiều dài \(L_{min}\) được lật ngược và toàn bộ thủy ngân không chảy ra):

• Chiều dài cột thủy ngân: \(h_{Hg} = 40\) cm (toàn bộ không chảy ra).
• Áp suất của cột không khí: Để toàn bộ thủy ngân không chảy ra, áp suất của cột không khí phải cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất do cột thủy ngân gây ra.
  
  \(P_B = P_0 – h_{Hg} = 80 – 40 = 40\) cmHg.
  
  (Trong trường hợp này, \(P_B\) phải dương, \(P_0 > h_{Hg}\), điều này thỏa mãn).
• Chiều dài cột không khí: Gọi \(l_B\) là chiều dài cột không khí trong ống mới.

Áp dụng định luật Boyle-Mariotte cho lượng khí từ trạng thái A sang trạng thái B:

\(P_A l_A = P_B l_B\)

\(120 \cdot 20 = 40 \cdot l_B\)

\(2400 = 40 l_B\)

\(l_B = \frac{2400}{40} = 60\) cm.

Đây là chiều dài cột không khí cần thiết trong ống mới để giữ lại toàn bộ cột thủy ngân.

Chiều dài tối thiểu của ống \(L_{min}\) sẽ là tổng chiều dài của cột không khí và cột thủy ngân:

\(L_{min} = l_B + h_{Hg}\)

\(L_{min} = 60 \text{ cm} + 40 \text{ cm} = 100 \text{ cm}\).

Vậy, chiều dài tối thiểu của ống để toàn bộ cột thủy ngân không chảy ra ngoài là 100 cm.

—

Hy vọng các em đã nắm rõ cách giải bài tập này. Chú ý phân tích kỹ các trạng thái của hệ, xác định đúng áp suất và áp dụng chính xác định luật Boyle-Mariotte nhé!