Chúng ta bắt đầu với câu c nhé!

Câu c: N là một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng S1S2 dao động ngược pha với hai nguồn. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ N đến đoạn thẳng S1S2

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm đã cho.

* Điểm N thuộc đường trung trực của S1S2: Điều này có nghĩa là khoảng cách từ N đến S1 bằng khoảng cách từ N đến S2. Gọi khoảng cách này là \(d\). Tức là \(NS_1 = NS_2 = d\).

* N dao động ngược pha với hai nguồn: Trong thí nghiệm giao thoa sóng, hai nguồn dao động cùng pha thì điều kiện để một điểm M trên mặt nước dao động cực đại là hiệu khoảng cách từ M đến hai nguồn bằng một số nguyên lần bước sóng: \(|d_1 – d_2| = k\lambda\), với \(k \in \mathbb{Z}\). Ngược lại, để một điểm M dao động cực tiểu thì hiệu khoảng cách này bằng một số bán nguyên lần bước sóng: \(|d_1 – d_2| = (k + \frac{1}{2})\lambda\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
Hai nguồn S1, S2 dao động cùng pha. Nếu hai nguồn dao động theo chiều dương tại thời điểm t=0, thì tại thời điểm t, li độ của chúng là \(u_1 = u_2 = A \cos(\omega t)\).
Một điểm M bất kỳ sẽ có li độ là \(u_M = u_{1M} + u_{2M}\). Với hai nguồn cùng pha, ta thường xét theo hiệu pha.
Tại một điểm M, biên độ dao động được xác định bởi \(d_1\) và \(d_2\).
Điều kiện để dao động cực đại là \(d_2 – d_1 = k\lambda\) (chọn \(d_2 > d_1\)).
Điều kiện để dao động cực tiểu là \(d_2 – d_1 = (k + \frac{1}{2})\lambda\).

Ở đây, đề bài cho N dao động ngược pha với hai nguồn. Điều này có nghĩa là khi hai nguồn có li độ dương, N có li độ âm, và ngược lại.
Với hai nguồn cùng pha, điều kiện để một điểm có biên độ dao động cực đại là hiệu khoảng cách từ điểm đó đến hai nguồn bằng một số nguyên lần bước sóng \(|d_1 – d_2| = k\lambda\).
Điều kiện để một điểm có biên độ dao động cực tiểu là hiệu khoảng cách từ điểm đó đến hai nguồn bằng một số bán nguyên lần bước sóng \(|d_1 – d_2| = (k + \frac{1}{2})\lambda\).

Tuy nhiên, ở đây đề bài không nói rõ là “biên độ cực đại” hay “dao động ngược pha”. “Dao động ngược pha với hai nguồn” thường ám chỉ đến hiệu pha.
Nếu hai nguồn dao động theo phương trình:
\(u_1 = A \cos(\omega t + \phi_1)\)
\(u_2 = A \cos(\omega t + \phi_2)\)
Với hai nguồn cùng pha, ta có \(\phi_1 = \phi_2\).
Tại một điểm M, ta có:
\(u_{1M} = A \cos(\omega t – \frac{2\pi d_1}{\lambda})\)
\(u_{2M} = A \cos(\omega t – \frac{2\pi d_2}{\lambda})\)
Tổng hợp dao động tại M: \(u_M = u_{1M} + u_{2M}\).
Điều kiện để N dao động ngược pha với hai nguồn:
Nếu nguồn có pha là \(\omega t\), thì N có pha là \(\omega t + \pi\).
Điều này có nghĩa là li độ của N sẽ luôn trái dấu với li độ của nguồn.

Trong các bài toán giao thoa sóng cơ bản, khi hai nguồn dao động cùng pha, thì một điểm M sẽ dao động với biên độ cực đại nếu \(|d_1 – d_2| = k\lambda\), và dao động với biên độ cực tiểu nếu \(|d_1 – d_2| = (k + \frac{1}{2})\lambda\).
Tuy nhiên, “dao động ngược pha” là một khái niệm liên quan đến pha của dao động, không chỉ biên độ.
Nếu ta xét nguồn có pha là \(\omega t\), thì các điểm trên mặt nước có pha là \(\omega t – \frac{2\pi d}{\lambda}\).
Để N dao động ngược pha với nguồn (có pha \(\omega t\)), thì pha của N phải là \(\omega t + \pi\).
Ta có: \(\omega t – \frac{2\pi d}{\lambda} = \omega t + \pi \pmod{2\pi}\)
\(-\frac{2\pi d}{\lambda} = \pi \pmod{2\pi}\)
\(-\frac{2d}{\lambda} = 1 \pmod{2}\)
\(\frac{2d}{\lambda} = -1 \pmod{2}\)
Điều này có nghĩa là \(\frac{2d}{\lambda} = \text{số lẻ}\).
Hay \(d = (k + \frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\) với \(k\) là số nguyên.

Bây giờ, chúng ta cần tính bước sóng \(\lambda\) từ các dữ kiện ở câu a.
Từ câu a (giả sử đã giải), chúng ta có:
Tốc độ truyền sóng \(v = 20 \text{ m/s}\) (hoặc 2000 cm/s).
Tần số \(f = 20 \text{ Hz}\).
Bước sóng \(\lambda = \frac{v}{f} = \frac{2000 \text{ cm/s}}{20 \text{ Hz}} = 100 \text{ cm}\).

Vì N thuộc đường trung trực của S1S2, nên \(NS_1 = NS_2 = d\).
Điều kiện để N dao động ngược pha với hai nguồn là:
\(d_2 – d_1 = (k + \frac{1}{2})\lambda\) nếu xét hiệu khoảng cách.
Với N thuộc đường trung trực, \(d_1 = d_2 = d\).
Vậy hiệu khoảng cách là \(d – d = 0\).
Điều này không phù hợp với điều kiện \(|d_1 – d_2| = (k + \frac{1}{2})\lambda\).

Chúng ta cần xem lại cách hiểu về “dao động ngược pha”.
Nếu hai nguồn là \(u_1 = A\cos(\omega t)\) và \(u_2 = A\cos(\omega t)\), thì một điểm M có li độ là \(u_M(t)\).
N dao động ngược pha với hai nguồn có nghĩa là \(u_N(t) = -u_{S1}(t)\) (hoặc \(u_{S2}(t)\)) tại mọi thời điểm t.
Tức là \(u_N(t)\) luôn có dấu ngược lại với \(u_{S1}(t)\).
Điều này xảy ra khi hiệu pha giữa N và nguồn là \(\pi\) (hoặc \( (2m+1)\pi \) với m nguyên).
Phát biểu “N dao động ngược pha với hai nguồn” khi hai nguồn dao động cùng pha có thể hiểu là:
Nếu nguồn có pha \(\alpha\), thì N có pha \(\alpha + \pi\).
Xét phương trình sóng tại N: \(u_N(t) = 2A \cos(\frac{\pi(d_1+d_2)}{\lambda} – \frac{\pi(d_1-d_2)}{\lambda})\cos(\omega t – \frac{\pi(d_1+d_2)}{\lambda})\).
Vì N thuộc đường trung trực nên \(d_1 = d_2 = d\), suy ra \(d_1 – d_2 = 0\).
Phương trình sóng tại N trở thành: \(u_N(t) = 2A \cos(\omega t – \frac{2\pi d}{\lambda})\).
So sánh với phương trình nguồn \(u_{S1}(t) = A\cos(\omega t)\), để \(u_N(t)\) dao động ngược pha với \(u_{S1}(t)\) thì pha của \(u_N(t)\) phải là \(\omega t + \pi\) hoặc \(\omega t – \pi\).
Do đó, ta cần:
\(\omega t – \frac{2\pi d}{\lambda} = \omega t + \pi \pmod{2\pi}\)
\(-\frac{2\pi d}{\lambda} = \pi \pmod{2\pi}\)
\(-\frac{2d}{\lambda} = 1 \pmod{2}\)
\(\frac{2d}{\lambda} = -1 \pmod{2}\)
Điều này có nghĩa là \(\frac{2d}{\lambda}\) là một số lẻ.
Vậy \(d = (k + \frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Chúng ta đã có \(\lambda = 100 \text{ cm}\).
Do đó, \(d = (k + \frac{1}{2})\frac{100}{2} = (k + \frac{1}{2})50\).
\(d = 50k + 25\).

Chúng ta cần tìm khoảng cách nhỏ nhất từ N đến đoạn thẳng S1S2.
Điểm N nằm trên đường trung trực của S1S2. Đoạn thẳng S1S2 nằm trên một đường thẳng.
Gọi O là trung điểm của S1S2. Khoảng cách từ N đến đoạn thẳng S1S2 là khoảng cách từ N đến O, vì O nằm trên đoạn thẳng S1S2 và ON là đường vuông góc hạ từ N xuống đường thẳng chứa S1S2.
Khoảng cách \(ON = d\).
Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(d = 50k + 25\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vì N là một điểm trên mặt nước, \(d\) phải là một khoảng cách dương.
Nếu \(k = 0\), thì \(d = 50(0) + 25 = 25 \text{ cm}\).
Nếu \(k = 1\), thì \(d = 50(1) + 25 = 75 \text{ cm}\).
Nếu \(k = -1\), thì \(d = 50(-1) + 25 = -25 \text{ cm}\). Khoảng cách không thể âm.

Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét “khoảng cách nhỏ nhất”.
Khoảng cách \(d\) luôn là dương, nên ta cần \(50k + 25 > 0\).
\(50k > -25\)
\(k > -\frac{1}{2}\).
Vì k là số nguyên, nên \(k \ge 0\).

Giá trị nhỏ nhất của \(d\) khi \(k\) nhận giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \(k \ge 0\), tức là \(k = 0\).
Khi \(k = 0\), \(d = 50(0) + 25 = 25 \text{ cm}\).

Vậy, khoảng cách nhỏ nhất từ N đến đoạn thẳng S1S2 là 25cm.

Tóm tắt lại quá trình suy luận cho câu c:
1. Hiểu rõ N thuộc đường trung trực của S1S2, suy ra \(NS_1 = NS_2 = d\).
2. Hiểu rõ “N dao động ngược pha với hai nguồn” khi hai nguồn cùng pha. Điều này có nghĩa là hiệu pha giữa dao động tại N và dao động của nguồn là \(\pi\).
3. Dựa trên phương trình sóng, suy ra điều kiện để N dao động ngược pha là \(\frac{2d}{\lambda}\) là một số lẻ, tức là \(d = (k + \frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
4. Sử dụng bước sóng \(\lambda\) đã tính được từ các câu trước (\(\lambda = 100 \text{ cm}\)).
5. Thay \(\lambda\) vào công thức của \(d\): \(d = (k + \frac{1}{2})\frac{100}{2} = 50k + 25\).
6. Vì d là khoảng cách, nên \(d > 0\), suy ra \(50k + 25 > 0\), dẫn đến \(k \ge 0\) (vì k nguyên).
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(d\) bằng cách chọn giá trị nguyên nhỏ nhất của k thỏa mãn điều kiện, tức là \(k = 0\).
8. Tính \(d_{min}\) với \(k = 0\), ta được \(d_{min} = 25 \text{ cm}\).

Chúc mừng các em đã cùng thầy hoàn thành câu c của bài toán này. Các em có thể xem lại các bước suy luận để hiểu sâu hơn nhé.