Đây là một bài toán điển hình về dao động cơ học, kết hợp với tính toán phần trăm thay đổi, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về ảnh hưởng của các yếu tố môi trường đến hoạt động của cảm biến.

Chúng ta có một cảm biến gia tốc siêu nhỏ MEMS, có thể hình dung như một hệ dao động điều hòa đơn giản với một vi hạt (khối lượng \(m\)) gắn trên một vi lò xo (có độ cứng \(k\)).

Các thông số ban đầu của cảm biến là:

• Khối lượng ban đầu của vi hạt: \(m_0\) (cho dù đề bài cho \(m = 2 \text{ µg}\) nhưng chúng ta sẽ thấy giá trị này không cần thiết cho việc tính toán sai số phần trăm).
• Tần số dao động riêng ban đầu: \(f_0 = 50 \text{ kHz}\) (giá trị này cũng không cần thiết cho việc tính toán sai số phần trăm).

Sau đó, cảm biến hoạt động trong môi trường khắc nghiệt, dẫn đến sự thay đổi của các thông số:

• Khối lượng vi hạt tăng thêm 12%: \(m’ = m_0 + 0.12 m_0 = 1.12 m_0\).
• Độ cứng của vi lò xo giảm 2%: \(k’ = k_0 – 0.02 k_0 = 0.98 k_0\).

Yêu cầu của bài toán là xác định sai số hệ thống (AS/S) do sự thay đổi tần số gây ra, tính bằng phần trăm và làm tròn đến hàng đơn vị.

Đối với một hệ dao động cơ học đơn giản gồm khối lượng \(m\) và lò xo có độ cứng \(k\), tần số dao động riêng \(f\) được xác định bởi công thức:

\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Sai số hệ thống (AS/S) ở đây được hiểu là phần trăm thay đổi của tần số dao động, tức là:

\[\text{Sai số phần trăm} = \frac{\Delta f}{f_0} \times 100\% = \left(\frac{f’ – f_0}{f_0}\right) \times 100\% = \left(\frac{f’}{f_0} – 1\right) \times 100\%\]

Bước 1: Viết biểu thức tần số ban đầu \(f_0\) và tần số mới \(f’\).

Tần số dao động riêng ban đầu của cảm biến là:

\[f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_0}{m_0}}\]

Sau khi khối lượng và độ cứng thay đổi, tần số dao động riêng mới là:

\[f’ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k’}{m’}}\]

Bước 2: Thay thế các giá trị \(k’\) và \(m’\) theo \(k_0\) và \(m_0\).

Theo đề bài, chúng ta có:

• \(m’ = 1.12 m_0\)
• \(k’ = 0.98 k_0\)

Vậy, tần số mới \(f’\) sẽ là:

\[f’ = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{0.98 k_0}{1.12 m_0}}\]

Bước 3: Lập tỉ số giữa tần số mới \(f’\) và tần số ban đầu \(f_0\).

\[\frac{f’}{f_0} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{0.98 k_0}{1.12 m_0}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_0}{m_0}}}\]

Rút gọn biểu thức:

\[\frac{f’}{f_0} = \sqrt{\frac{0.98 k_0}{1.12 m_0} \cdot \frac{m_0}{k_0}}\]

\[\frac{f’}{f_0} = \sqrt{\frac{0.98}{1.12}}\]

Bước 4: Tính giá trị của tỉ số.

\[\frac{0.98}{1.12} = 0.875\]

\[\frac{f’}{f_0} = \sqrt{0.875} \approx 0.935414\]

Bước 5: Tính sai số hệ thống (AS/S) theo phần trăm.

Sai số hệ thống chính là phần trăm thay đổi của tần số:

\[\text{Sai số phần trăm} = \left(\frac{f’}{f_0} – 1\right) \times 100\%\]

\[\text{Sai số phần trăm} = (0.935414 – 1) \times 100\%\]

\[\text{Sai số phần trăm} = (-0.064586) \times 100\%\]

\[\text{Sai số phần trăm} = -6.4586\%\]

Bước 6: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Làm tròn \(-6.4586\%\) đến hàng đơn vị, ta được \(-6\%\).

Vậy, do ảnh hưởng của hạt bụi bám vào và nhiệt độ môi trường tăng lên, tần số dao động riêng của cảm biến MEMS đã bị thay đổi, gây ra sai số hệ thống là -6%. Điều này có nghĩa là tần số đo được sẽ bị giảm đi khoảng 6% so với tần số ban đầu, dẫn đến sai lệch trong việc đo gia tốc.

Bài tập này cho thấy tầm quan trọng của việc hiểu các yếu tố ảnh hưởng đến hoạt động của cảm biến và cách định lượng sai số trong các hệ thống thực tế. Chúc các em học tốt!