Bài toán: Một người có khối lượng \(m_1 = 50\) kg nhảy từ một chiếc xe có khối lượng \(m_2 = 80\) kg đang chạy theo phương ngang với vận tốc \(v = 3\) m/s. Vận tốc nhảy của người đó đối với xe là \(v_0 = 4\) m/s. Tính vận tốc \(V_2\) của xe sau khi người ấy nhảy vuông góc với thành xe.

Phân tích bài toán:

Đây là bài toán áp dụng định luật bảo toàn động lượng. Hệ của chúng ta bao gồm người và xe. Trước khi người nhảy, cả người và xe chuyển động cùng nhau với vận tốc \(v\). Sau khi người nhảy, hệ tách thành hai phần là người và xe, mỗi phần có một vận tốc riêng.

Các bước giải:

Bước 1: Chọn hệ quy chiếu và xác định các vectơ động lượng ban đầu.

Chúng ta sẽ chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất. Chiều dương sẽ là chiều chuyển động ban đầu của xe.

Trước khi người nhảy, hệ (người + xe) chuyển động cùng vận tốc \(v\). Động lượng của hệ trước khi nhảy là:

\(\vec{p}_{trước} = (m_1 + m_2) \vec{v}\)

Với \(v = 3\) m/s.

Bước 2: Xác định các vectơ động lượng sau khi người nhảy.

Sau khi người nhảy, người có vận tốc \( \vec{v_1} \) so với mặt đất và xe có vận tốc \( \vec{V_2} \) so với mặt đất.

Động lượng của người sau khi nhảy là: \(\vec{p}_1 = m_1 \vec{v_1}\)

Động lượng của xe sau khi nhảy là: \(\vec{p}_2 = m_2 \vec{V_2}\)

Động lượng của hệ sau khi nhảy là: \(\vec{p}_{sau} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{V_2}\)

Bước 3: Áp dụng định luật bảo toàn động lượng.

Vì bỏ qua ma sát và các ngoại lực khác, động lượng của hệ được bảo toàn: \(\vec{p}_{trước} = \vec{p}_{sau}\)

\((m_1 + m_2) \vec{v} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{V_2}\)

Bước 4: Phân tích vận tốc nhảy của người đối với xe.

Đề bài cho biết vận tốc nhảy của người đối với xe là \(v_0 = 4\) m/s và nhảy vuông góc với thành xe.

Vận tốc của người đối với xe có thể được biểu diễn bằng công thức:

\(\vec{v_1} = \vec{v} + \vec{v}_{người/xe}\)

Ở đây, \(\vec{v}\) là vận tốc của xe (và người) trước khi nhảy so với mặt đất, và \(\vec{v}_{người/xe}\) là vận tốc của người so với xe.

Chúng ta sẽ chọn hệ quy chiếu gắn với xe đang chuyển động với vận tốc \(\vec{v}\). Trong hệ quy chiếu này, xe đứng yên. Vận tốc \(\vec{v}_{người/xe}\) là vận tốc của người trong hệ quy chiếu gắn với xe.

Giả sử xe chuyển động theo phương ngang (trục Ox). Người nhảy vuông góc với thành xe, nghĩa là vận tốc \(\vec{v}_{người/xe}\) sẽ có một thành phần theo phương thẳng đứng (trục Oy) và có độ lớn \(v_0 = 4\) m/s.

Ta có thể phân tích \(\vec{v}_{người/xe}\) thành hai thành phần:

– Thành phần theo phương ngang (Ox): \(v_{người/xe, x}\)

– Thành phần theo phương thẳng đứng (Oy): \(v_{người/xe, y}\)

Vì người nhảy vuông góc với thành xe, nên nếu coi xe chạy theo trục Ox, thì thành xe sẽ vuông góc với trục Ox, tức là theo trục Oy. Do đó, \(\vec{v}_{người/xe}\) sẽ có thành phần theo trục Oy và độ lớn của nó bằng \(v_0\). Tuy nhiên, cách hiểu phổ biến hơn của “nhảy vuông góc với thành xe” trong bài toán này là vận tốc tương đối của người so với xe có một thành phần vuông góc với hướng chuyển động ban đầu của xe. Chúng ta sẽ giả định như sau:

Xe đang chuyển động theo phương ngang (trục Ox). Thành xe có thể hiểu là phương vuông góc với hướng chuyển động của xe, tức là theo phương thẳng đứng (trục Oy). Vậy vận tốc của người so với xe là \(\vec{v}_{người/xe}\) có độ lớn \(v_0 = 4\) m/s và hướng theo phương vuông góc với phương chuyển động ban đầu của xe (tức là theo trục Oy).

Do đó:

\(\vec{v}_{người/xe} = (0, v_0)\) (trong hệ quy chiếu gắn với xe).

Quay lại hệ quy chiếu gắn với mặt đất:

\(\vec{v_1} = \vec{v} + \vec{v}_{người/xe}\)

Giả sử \(\vec{v}\) chỉ có thành phần theo Ox: \(\vec{v} = (v, 0)\).

\(\vec{v_1} = (v, 0) + (0, v_0) = (v, v_0)\)

Tuy nhiên, cách hiểu này chưa phản ánh hết tình huống. Cần xem xét kỹ “vận tốc nhảy của người đó đối với xe là \(v_0 = 4\) m/s”. Vận tốc tương đối này là vận tốc của người so với xe. Khi người nhảy, người có một vận tốc riêng so với mặt đất, và xe cũng có một vận tốc riêng so với mặt đất.

Cách tiếp cận khác và chặt chẽ hơn:

Ta có:

\((m_1 + m_2) \vec{v} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{V_2}\)

Vận tốc của người đối với xe là \(\vec{v}_{1/2} = \vec{v_1} – \vec{V_2}\). Đề bài cho độ lớn của vận tốc này là \(v_0 = 4\) m/s, và hướng của nó là vuông góc với thành xe.

Giả sử xe chuyển động theo trục Ox. Vận tốc ban đầu của xe và người là \(\vec{v} = (v, 0)\). Xe có khối lượng \(m_2\), người có khối lượng \(m_1\).

Sau khi nhảy:

\((m_1 + m_2) \vec{v} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{V_2}\)

Thành phần theo Ox:

\((m_1 + m_2) v = m_1 v_{1x} + m_2 V_{2x}\)

Thành phần theo Oy:

0 = \(m_1 v_{1y} + m_2 V_{2y}\)

Bây giờ xét vận tốc tương đối: \(\vec{v}_{1/2} = \vec{v_1} – \vec{V_2}\).
Đề bài nói vận tốc nhảy của người đó đối với xe là \(v_0 = 4\) m/s và nhảy “vuông góc với thành xe”. Ta hiểu “thành xe” là phương ngang mà xe đang chuyển động. Vậy vận tốc nhảy của người so với xe có một thành phần vuông góc với hướng chuyển động ban đầu của xe.
Giả sử người nhảy ra theo phương Oy (vuông góc với Ox). Vậy vận tốc của người so với xe có thành phần theo Oy.
Vận tốc tương đối là \(\vec{v}_{1/2} = \vec{v_1} – \vec{V_2}\).
Nếu người nhảy theo phương Oy so với xe, thì \(\vec{v}_{1/2}\) có thành phần theo Oy.
Ta có \(\vec{v_1} = \vec{v} + \vec{v}_{1/2}\) (trong hệ quy chiếu của mặt đất, \(\vec{v}\) là vận tốc của xe trước khi nhảy).
Nếu \(\vec{v}\) theo Ox, và \(\vec{v}_{1/2}\) theo Oy với độ lớn \(v_0\), thì \(\vec{v_1} = (v, v_0)\).
Thế vào phương trình bảo toàn động lượng:

\((m_1 + m_2) (v, 0) = m_1 (v, v_0) + m_2 \vec{V_2}\)

\((m_1 + m_2) v \hat{i} = m_1 v \hat{i} + m_1 v_0 \hat{j} + m_2 \vec{V_2}\)

\(m_2 \vec{V_2} = (m_1 + m_2) v \hat{i} – m_1 v \hat{i} – m_1 v_0 \hat{j}\)

\(m_2 \vec{V_2} = m_2 v \hat{i} – m_1 v_0 \hat{j}\)

\(\vec{V_2} = v \hat{i} – \frac{m_1 v_0}{m_2} \hat{j}\)

Trong trường hợp này, vận tốc của xe sau khi người nhảy sẽ có cả thành phần theo phương ngang và phương thẳng đứng. Tuy nhiên, đề bài chỉ hỏi “vận tốc V2 của xe sau khi người ấy nhảy”. Thông thường, khi nói “vận tốc”, ta thường quan tâm đến độ lớn. Nhưng ở đây, ta cần tính cả vectơ vận tốc.

Kiểm tra lại cách hiểu đề: “vận tốc nhảy của người đó đối với xe là \(v_0 = 4\) m/s. Tính vận tốc \(V_2\) của xe sau khi người ấy nhảy vuông góc với thành xe?”

Diễn giải khác: Người nhảy ra khỏi xe với vận tốc \(v_0 = 4\) m/s theo phương vuông góc với hướng chuyển động của xe. Vận tốc này là vận tốc tương đối của người so với xe.

Ta có:

\(\vec{v}_{1/2} = \vec{v_1} – \vec{V_2}\)

Ta sẽ chọn hệ tọa độ:

Trục Ox: Theo hướng chuyển động ban đầu của xe.

Trục Oy: Vuông góc với Ox (hướng người nhảy).

Ban đầu, hệ (người + xe) chuyển động theo Ox với vận tốc \(v\).

Động lượng ban đầu: \(\vec{p}_{trước} = (m_1 + m_2) v \hat{i}\)

Sau khi nhảy:

\(\vec{v}_{1/2} = 0 \hat{i} + v_0 \hat{j}\) (vận tốc của người so với xe theo phương Oy)

\(\vec{v_1} = \vec{v} + \vec{v}_{1/2}\)

\(\vec{v_1} = v \hat{i} + v_0 \hat{j}\)

\(\vec{V_2} = V_{2x} \hat{i} + V_{2y} \hat{j}\)

Bảo toàn động lượng:

\((m_1 + m_2) v \hat{i} = m_1 (v \hat{i} + v_0 \hat{j}) + m_2 (V_{2x} \hat{i} + V_{2y} \hat{j})\)

Phân tích theo từng trục:

Theo Ox:

\((m_1 + m_2) v = m_1 v + m_2 V_{2x}\)

\(m_1 v + m_2 v = m_1 v + m_2 V_{2x}\)

\(m_2 v = m_2 V_{2x}\)

\(V_{2x} = v\)

Theo Oy:

0 = \(m_1 v_0 + m_2 V_{2y}\)

\(m_2 V_{2y} = -m_1 v_0\)

\(V_{2y} = -\frac{m_1 v_0}{m_2}\)

Vậy vận tốc của xe sau khi người nhảy là:

\(\vec{V_2} = v \hat{i} – \frac{m_1 v_0}{m_2} \hat{j}\)

Bước 5: Thay số và tính toán.

\(m_1 = 50\) kg

\(m_2 = 80\) kg

\(v = 3\) m/s

\(v_0 = 4\) m/s

\(V_{2x} = v = 3\) m/s

\(V_{2y} = -\frac{50 \times 4}{80} = -\frac{200}{80} = -\frac{20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5\) m/s

Vậy, vận tốc của xe sau khi người ấy nhảy là một vectơ có thành phần theo phương ngang là \(3\) m/s và thành phần theo phương thẳng đứng là \(-2.5\) m/s.

Nếu đề bài hỏi độ lớn của vận tốc xe sau khi nhảy:

\(V_2 = |\vec{V_2}| = \sqrt{V_{2x}^2 + V_{2y}^2}\)

\(V_2 = \sqrt{3^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{9 + 6.25} = \sqrt{15.25}\)

\(V_2 \approx 3.905\) m/s

Tuy nhiên, yêu cầu là “Tính vận tốc V2 của xe”. Vận tốc là một đại lượng có hướng, nên ta nên biểu diễn dưới dạng vectơ hoặc nêu rõ cả hai thành phần.

Kết luận:

Vận tốc của xe sau khi người ấy nhảy có thành phần theo phương ban đầu của xe là \(V_{2x} = 3\) m/s, và thành phần vuông góc với phương ban đầu là \(V_{2y} = -2.5\) m/s.

Do đó, ta có thể viết vận tốc của xe là \(\vec{V_2} = (3; -2.5)\) m/s (với quy ước trục Ox theo hướng chuyển động ban đầu của xe và trục Oy vuông góc).

Hy vọng với cách giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về bài toán và định luật bảo toàn động lượng. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!