Bài toán: Một vật có khối lượng 1,5 kg trượt từ đỉnh một dốc nghiêng với vận tốc ban đầu là 2 m/s. Dốc nghiêng một góc 30 độ so với phương ngang. Khi đến chân dốc, vật đạt vận tốc 6 m/s. Chiều dài của dốc là 8m. Lấy gia tốc trọng trường \(g = 10 \, m/s^2\). Tính:

• a) Công của trọng lực.
• b) Công của lực ma sát.
• c) Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng.

Phân tích bài toán và các bước giải:

Chúng ta sẽ áp dụng các định lý và công thức vật lý liên quan đến công và năng lượng để giải bài toán này.

a) Công của trọng lực:

Trọng lực \(P\) tác dụng lên vật có độ lớn \(P = m \cdot g\). Phương của trọng lực luôn hướng thẳng đứng xuống dưới.

Độ dịch chuyển của vật dọc theo mặt phẳng nghiêng có chiều dài \(l = 8 \, m\). Góc nghiêng của dốc là \(\alpha = 30^\circ\).

Công của trọng lực được tính bằng công thức: \(A_P = P \cdot l \cdot \cos(\theta)\), trong đó \(\theta\) là góc giữa phương của trọng lực và phương của độ dịch chuyển.

Trong trường hợp này, trọng lực hướng thẳng đứng xuống, còn vật trượt xuống dốc. Ta cần tìm góc giữa hai phương này. Chiếu trọng lực lên phương song song với mặt phẳng nghiêng, ta thấy rằng thành phần của trọng lực này có vai trò làm vật trượt xuống.

Độ cao mà vật rơi xuống khi trượt hết dốc là \(h = l \cdot \sin(\alpha)\).

Công của trọng lực cũng có thể được tính bằng sự thay đổi thế năng: \(A_P = -\Delta E_t = -(E_{t, sau} – E_{t, trước}) = E_{t, trước} – E_{t, sau}\). Nếu chọn mốc thế năng tại chân dốc, thì thế năng ban đầu tại đỉnh dốc là \(E_{t, trước} = mgh\) và thế năng tại chân dốc là \(E_{t, sau} = 0\). Do đó, \(A_P = mgh\).

Ta có:

• Khối lượng vật: \(m = 1,5 \, kg\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \, m/s^2\)
• Chiều dài dốc: \(l = 8 \, m\)
• Góc nghiêng: \(\alpha = 30^\circ\)

Độ cao \(h = l \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot 0,5 = 4 \, m\).

Công của trọng lực là:

\(A_P = m \cdot g \cdot h = 1,5 \cdot 10 \cdot 4 = 60 \, J\)

Kết quả: Công của trọng lực là \(60 \, J\).

b) Công của lực ma sát:

Để tính công của lực ma sát, chúng ta sẽ sử dụng định lý biến thiên động năng. Định lý này cho biết:

Độ biến thiên động năng của vật bằng tổng công của các lực tác dụng lên vật.

\(\Delta E_k = A_{tổng}\)

Trong đó:

• \(\Delta E_k = E_{k, cuối} – E_{k, đầu}\) là độ biến thiên động năng.
• \(E_{k, đầu}\) là động năng ban đầu của vật.
• \(E_{k, cuối}\) là động năng cuối cùng của vật.
• \(A_{tổng}\) là tổng công của tất cả các lực tác dụng lên vật.

Các lực tác dụng lên vật bao gồm:

• Trọng lực (\(P\))
• Phản lực của mặt phẳng nghiêng (\(N\))
• Lực ma sát trượt (\(F_{ms}\))

Tổng công của các lực là: \(A_{tổng} = A_P + A_N + A_{F_{ms}}\).

Phản lực \(N\) của mặt phẳng nghiêng vuông góc với phương dịch chuyển của vật, do đó công của phản lực \(A_N = 0\).

Vậy, \(A_{tổng} = A_P + A_{F_{ms}}\).

Động năng ban đầu của vật: \(E_{k, đầu} = \frac{1}{2} m v_{đầu}^2\)

Động năng cuối cùng của vật: \(E_{k, cuối} = \frac{1}{2} m v_{cuối}^2\)

Ta có:

• Khối lượng vật: \(m = 1,5 \, kg\)
• Vận tốc ban đầu: \(v_{đầu} = 2 \, m/s\)
• Vận tốc cuối: \(v_{cuối} = 6 \, m/s\)

Tính động năng ban đầu:

\(E_{k, đầu} = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot (2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 4 = 3 \, J\)

Tính động năng cuối:

\(E_{k, cuối} = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot (6)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot 36 = 1,5 \cdot 18 = 27 \, J\)

Độ biến thiên động năng:

\(\Delta E_k = E_{k, cuối} – E_{k, đầu} = 27 – 3 = 24 \, J\)

Áp dụng định lý biến thiên động năng:

\(\Delta E_k = A_P + A_{F_{ms}}\)

\(24 = 60 + A_{F_{ms}}\)

Suy ra công của lực ma sát:

\(A_{F_{ms}} = 24 – 60 = -36 \, J\)

Kết quả: Công của lực ma sát là \(-36 \, J\). Dấu âm cho thấy lực ma sát sinh công cản trở chuyển động.

c) Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng:

Lực ma sát trượt \(F_{ms}\) được tính bằng công thức: \(F_{ms} = \mu \cdot N\), trong đó \(\mu\) là hệ số ma sát và \(N\) là độ lớn của phản lực.

Công của lực ma sát được tính bằng: \(A_{F_{ms}} = F_{ms} \cdot l \cdot \cos(\beta)\). Vì lực ma sát luôn ngược chiều với chuyển động, nên góc \(\beta\) giữa \(F_{ms}\) và chiều chuyển động là \(180^\circ\), do đó \(\cos(180^\circ) = -1\).

Vậy, \(A_{F_{ms}} = – F_{ms} \cdot l = – \mu \cdot N \cdot l\).

Chúng ta đã tính được \(A_{F_{ms}} = -36 \, J\) và biết \(l = 8 \, m\). Bây giờ, chúng ta cần tìm độ lớn của phản lực \(N\).

Xét các lực tác dụng lên vật theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Các lực này cân bằng nhau, do đó:

\(N = P \cdot \cos(\alpha) = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)\)

Thay số vào ta có:

• Khối lượng vật: \(m = 1,5 \, kg\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \, m/s^2\)
• Góc nghiêng: \(\alpha = 30^\circ\)

Độ lớn của phản lực:

\(N = 1,5 \cdot 10 \cdot \cos(30^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 15 \cdot 0,866 \approx 12,99 \, N\)

Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức của công lực ma sát để tìm hệ số ma sát:

\(A_{F_{ms}} = – \mu \cdot N \cdot l\)

\(-36 = – \mu \cdot (15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 8\)

\(-36 = – \mu \cdot 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(-36 = – \mu \cdot 60\sqrt{3}\)

Giải cho \(\mu\):

\(\mu = \frac{36}{60\sqrt{3}} = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{5}\)

\(\mu \approx \frac{1,732}{5} \approx 0,3464\)

Kết quả: Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là \(\frac{\sqrt{3}}{5}\) hoặc xấp xỉ \(0,3464\).

Tổng kết:

Các em thấy đấy, thông qua việc áp dụng định lý biến thiên động năng và các công thức liên quan, chúng ta đã giải quyết được tất cả các yêu cầu của bài toán.

Hy vọng qua bài giải này, các em đã nắm vững hơn cách phân tích và giải các bài toán về chuyển động trên mặt phẳng nghiêng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!