Bài toán cho chúng ta như sau:

Khi đĩa quay đều một điểm trên vành đĩa chuyển động tròn đều với vận tốc Vì = 3 m/s, một điểm nằm gần trục quay cách vành đĩa một đoạn 31,8 cm có vận tốc v2 = 2 m/s. Tính tần số quay của đĩa.

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích bài toán và tìm ra cách giải.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm.

Đã cho:
* Vận tốc của một điểm trên vành đĩa: \(v_1 = 3\) m/s.
* Khoảng cách từ điểm thứ hai đến trục quay. Lưu ý, điểm này cách vành đĩa một đoạn 31,8 cm. Điều này có nghĩa là bán kính của điểm thứ hai sẽ nhỏ hơn bán kính của vành đĩa.
* Vận tốc của điểm thứ hai: \(v_2 = 2\) m/s.

Cần tìm:
* Tần số quay của đĩa: \(f\).

Chúng ta biết rằng, khi một vật chuyển động tròn đều, vận tốc dài \(v\) và bán kính quỹ đạo \(r\) có mối liên hệ với nhau qua công thức:
\(v = \omega \cdot r\)
trong đó, \(\omega\) là vận tốc góc.

Mối liên hệ giữa vận tốc góc \(\omega\) và tần số quay \(f\) là:
\(\omega = 2\pi f\)

Từ đó, chúng ta có thể viết lại công thức vận tốc dài là:
\(v = 2\pi f \cdot r\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho hai điểm đã cho trong bài toán.

Gọi \(R\) là bán kính của vành đĩa.
Điểm thứ nhất nằm trên vành đĩa, nên bán kính quỹ đạo của nó là \(r_1 = R\).
Ta có:
\(v_1 = 2\pi f \cdot r_1\)
\(v_1 = 2\pi f \cdot R\) (1)

Điểm thứ hai nằm gần trục quay và cách vành đĩa một đoạn 31,8 cm.
Điều này có nghĩa là bán kính quỹ đạo của điểm thứ hai là \(r_2 = R – \Delta r\), với \(\Delta r = 31,8\) cm.
Tuy nhiên, cách diễn đạt “cách vành đĩa một đoạn 31,8 cm” có thể hiểu là khoảng cách từ điểm thứ hai đến vành đĩa là 31,8 cm. Nếu vậy, bán kính của điểm thứ hai sẽ là \(r_2 = R – 31,8 \text{ cm}\).

Để bài toán có ý nghĩa, chúng ta nên hiểu rằng khoảng cách 31,8 cm là khoảng cách từ điểm thứ hai đến trục quay, và điểm thứ nhất (trên vành đĩa) cách điểm thứ hai một đoạn là 31,8 cm. Nhưng cách diễn đạt “một điểm nằm gần trục quay cách vành đĩa một đoạn 31,8 cm” thì hơi mâu thuẫn.

Chúng ta hãy xem xét cách hiểu phổ biến nhất cho dạng bài này:
* Điểm thứ nhất trên vành đĩa có bán kính \(r_1 = R\).
* Điểm thứ hai cách trục quay một đoạn \(\Delta r = 31,8\) cm. Do đó, bán kính quỹ đạo của điểm thứ hai là \(r_2 = R – \Delta r\).

Tuy nhiên, cách diễn đạt “một điểm nằm gần trục quay cách vành đĩa một đoạn 31,8 cm” có thể hiểu là khoảng cách từ điểm thứ hai đến trục quay là \(r_2\), và khoảng cách từ điểm thứ hai đến vành đĩa là \(R – r_2 = 31,8\) cm.

Nếu theo cách hiểu này, thì chúng ta sẽ có:
\(r_1 = R\)
\(r_2\) là bán kính của điểm thứ hai.
\(R – r_2 = 31,8 \text{ cm}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức cho điểm thứ hai:
\(v_2 = 2\pi f \cdot r_2\) (2)

Từ phương trình (1) và (2), chúng ta có thể rút ra mối quan hệ giữa vận tốc và bán kính:
\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{2\pi f \cdot r_1}{2\pi f \cdot r_2}\)
\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1}{r_2}\)

Chúng ta cần đổi đơn vị của khoảng cách từ cm sang mét để thống nhất đơn vị:
\(31,8 \text{ cm} = 0,318 \text{ m}\)

Theo cách hiểu: \(R – r_2 = 0,318 \text{ m}\), tức là \(r_2 = R – 0,318 \text{ m}\).
Thay vào tỉ lệ trên:
\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{R}{R – 0,318}\)

Thay số liệu đã cho:
\(\frac{3}{2} = \frac{R}{R – 0,318}\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(R\):
\(3(R – 0,318) = 2R\)
\(3R – 3 \cdot 0,318 = 2R\)
\(3R – 0,954 = 2R\)
\(3R – 2R = 0,954\)
\(R = 0,954 \text{ m}\)

Đây là bán kính của vành đĩa.
Bây giờ chúng ta tìm bán kính của điểm thứ hai:
\(r_2 = R – 0,318 = 0,954 – 0,318 = 0,636 \text{ m}\)

Kiểm tra lại tỉ lệ vận tốc và bán kính:
\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2} = 1,5\)
\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{R}{r_2} = \frac{0,954}{0,636} = 1,5\)
Tỉ lệ này khớp với nhau, vậy cách hiểu trên là hợp lý.

Bây giờ, chúng ta cần tính tần số quay \(f\). Chúng ta có thể sử dụng công thức vận tốc cho điểm thứ nhất (hoặc điểm thứ hai):
\(v_1 = 2\pi f \cdot R\)

Suy ra \(f\):
\(f = \frac{v_1}{2\pi R}\)

Thay số vào:
\(f = \frac{3}{2\pi \cdot 0,954}\)

Tính toán giá trị của \(f\):
\(f \approx \frac{3}{2 \cdot 3,14159 \cdot 0,954}\)
\(f \approx \frac{3}{6,00018}\)
\(f \approx 0,49998 \text{ Hz}\)

Chúng ta có thể làm tròn kết quả.

Hoặc một cách giải khác, trực tiếp hơn:

Chúng ta có hai phương trình:
(1) \(v_1 = 2\pi f \cdot r_1\)
(2) \(v_2 = 2\pi f \cdot r_2\)

Với \(r_1 = R\) và \(r_2 = R – 0,318 \text{ m}\).
Từ (1), ta có \(R = \frac{v_1}{2\pi f}\).
Thay \(R\) vào biểu thức của \(r_2\):
\(r_2 = \frac{v_1}{2\pi f} – 0,318\)

Bây giờ thay \(r_2\) và \(v_2\) vào phương trình (2):
\(v_2 = 2\pi f \cdot \left( \frac{v_1}{2\pi f} – 0,318 \right)\)
\(v_2 = 2\pi f \cdot \frac{v_1}{2\pi f} – 2\pi f \cdot 0,318\)
\(v_2 = v_1 – 2\pi f \cdot 0,318\)

Bây giờ, chúng ta có thể giải phương trình này để tìm \(f\):
\(2\pi f \cdot 0,318 = v_1 – v_2\)
\(f = \frac{v_1 – v_2}{2\pi \cdot 0,318}\)

Thay số liệu vào:
\(f = \frac{3 – 2}{2\pi \cdot 0,318}\)
\(f = \frac{1}{2\pi \cdot 0,318}\)

Tính toán giá trị của \(f\):
\(f \approx \frac{1}{2 \cdot 3,14159 \cdot 0,318}\)
\(f \approx \frac{1}{2,00005}\)
\(f \approx 0,49998 \text{ Hz}\)

Chúng ta làm tròn kết quả là \(f \approx 0,5 \text{ Hz}\).

Kết luận:
Tần số quay của đĩa là \(f \approx 0,5 \text{ Hz}\).

Các em thấy đó, khi gặp bài toán về chuyển động tròn đều, chúng ta cần xác định rõ bán kính của các điểm chuyển động và vận dụng đúng công thức liên hệ giữa vận tốc dài, vận tốc góc và tần số.

Có em nào có câu hỏi gì về bài giải này không?
Nếu không có, chúng ta sẽ sang bài tập tiếp theo.