Đề bài: Một cần trục nâng một vật khối lượng m = 100 kg từ mặt đất lên cao theo phương thẳng đứng. Trong 10 m đầu tiên, vật đi lên nhanh dần đều với gia tốc 1,2 m/s². Sau đó vật đi lên chậm dần đều thêm 15 phút nữa thì dừng lại. Tính công do cần trục thực hiện trên toàn bộ quãng đường.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chia làm hai giai đoạn chuyển động của vật.

Giai đoạn 1: Chuyển động nhanh dần đều

1. Xác định các đại lượng đã cho và cần tìm trong giai đoạn 1:

• Khối lượng vật: \( m = 100 \, \text{kg} \)
• Quãng đường đi được: \( s_1 = 10 \, \text{m} \)
• Gia tốc: \( a_1 = 1,2 \, \text{m/s}^2 \)
• Vận tốc ban đầu: \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \) (vì vật bắt đầu từ mặt đất)
• Cần tìm: Công của cần trục trong giai đoạn này (\( A_{\text{trục1}} \))

2. Tính vận tốc của vật khi kết thúc giai đoạn 1:

Ta sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều:

\( v_1^2 – v_0^2 = 2 a_1 s_1 \)

Thay số vào, ta có:

\( v_1^2 – 0^2 = 2 \times 1,2 \times 10 \)
\( v_1^2 = 24 \)
\( v_1 = \sqrt{24} \, \text{m/s} \)

3. Tính lực căng của dây do cần trục tác dụng trong giai đoạn 1:

Áp dụng định luật II Newton cho vật trong giai đoạn 1:

\( \vec{F}_{\text{trục1}} + \vec{P} = m \vec{a}_1 \)

Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên:

\( F_{\text{trục1}} – P = m a_1 \)

Trong đó, \( P = mg \) là trọng lực của vật.

\( F_{\text{trục1}} – mg = m a_1 \)
\( F_{\text{trục1}} = m a_1 + mg = m(a_1 + g) \)

Lấy \( g \approx 10 \, \text{m/s}^2 \) (hoặc \( g \approx 9,8 \, \text{m/s}^2 \), ở đây ta dùng \( 10 \, \text{m/s}^2 \) cho gọn):

\( F_{\text{trục1}} = 100(1,2 + 10) = 100 \times 11,2 = 1120 \, \text{N} \)

4. Tính công của cần trục trong giai đoạn 1:

Công của lực căng dây do cần trục thực hiện được tính bằng:

\( A_{\text{trục1}} = F_{\text{trục1}} s_1 \cos(\alpha) \)

Ở đây, lực căng dây và quãng đường đều hướng lên, nên góc \( \alpha = 0^\circ \), \( \cos(0^\circ) = 1 \).

\( A_{\text{trục1}} = 1120 \times 10 \times 1 = 11200 \, \text{J} \)

Giai đoạn 2: Chuyển động chậm dần đều

1. Xác định các đại lượng đã cho và cần tìm trong giai đoạn 2:

• Vận tốc ban đầu của giai đoạn 2 chính là vận tốc cuối của giai đoạn 1: \( v’_0 = v_1 = \sqrt{24} \, \text{m/s} \)
• Vận tốc cuối của giai đoạn 2: \( v’_1 = 0 \, \text{m/s} \) (vì vật dừng lại)
• Thời gian chuyển động: \( t_2 = 15 \, \text{phút} \). Chúng ta cần đổi đơn vị thời gian sang giây: \( t_2 = 15 \times 60 = 900 \, \text{s} \).
• Cần tìm: Công của cần trục trong giai đoạn này (\( A_{\text{trục2}} \))

2. Tính gia tốc của vật trong giai đoạn 2:

Sử dụng công thức vận tốc trong chuyển động thẳng biến đổi đều:

\( v’_1 = v’_0 + a_2 t_2 \)

Thay số vào, ta có:

\( 0 = \sqrt{24} + a_2 \times 900 \)
\( a_2 = -\frac{\sqrt{24}}{900} \, \text{m/s}^2 \)

Dấu âm cho thấy gia tốc ngược chiều với vận tốc, đây là chuyển động chậm dần.

3. Tính lực căng của dây do cần trục tác dụng trong giai đoạn 2:

Áp dụng định luật II Newton cho vật trong giai đoạn 2:

\( \vec{F}_{\text{trục2}} + \vec{P} = m \vec{a}_2 \)

Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên:

\( F_{\text{trục2}} – P = m a_2 \)
\( F_{\text{trục2}} – mg = m a_2 \)
\( F_{\text{trục2}} = m a_2 + mg = m(a_2 + g) \)

Thay số vào:

\( F_{\text{trục2}} = 100 \left( -\frac{\sqrt{24}}{900} + 10 \right) \)
\( F_{\text{trục2}} = 1000 – \frac{100\sqrt{24}}{900} = 1000 – \frac{\sqrt{24}}{9} \, \text{N} \)

Giá trị này xấp xỉ: \( \sqrt{24} \approx 4,9 \, \text{m/s} \).

\( F_{\text{trục2}} \approx 1000 – \frac{4,9}{9} \approx 1000 – 0,54 = 999,46 \, \text{N} \)

(Lưu ý: Nếu \( a_2 \) quá nhỏ, lực căng dây có thể xấp xỉ bằng trọng lực \( mg \), điều này có nghĩa là cần trục chỉ giữ vật lại và không cần tác dụng lực lớn để thay đổi vận tốc.)

4. Tính quãng đường đi được trong giai đoạn 2:

Ta sử dụng công thức quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều:

\( s_2 = v’_0 t_2 + \frac{1}{2} a_2 t_2^2 \)

Thay số vào:

\( s_2 = \sqrt{24} \times 900 + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{24}}{900} \right) \times 900^2 \)
\( s_2 = 900\sqrt{24} – \frac{1}{2} \sqrt{24} \times 900 \)
\( s_2 = \frac{1}{2} \times 900\sqrt{24} = 450\sqrt{24} \, \text{m} \)

Giá trị này xấp xỉ: \( s_2 \approx 450 \times 4,9 \approx 2205 \, \text{m} \).

5. Tính công của cần trục trong giai đoạn 2:

Công của lực căng dây do cần trục thực hiện được tính bằng:

\( A_{\text{trục2}} = F_{\text{trục2}} s_2 \cos(\alpha) \)

Ở đây, lực căng dây và quãng đường đều hướng lên, nên góc \( \alpha = 0^\circ \), \( \cos(0^\circ) = 1 \).

\( A_{\text{trục2}} = \left( 1000 – \frac{\sqrt{24}}{9} \right) \times 450\sqrt{24} \)
\( A_{\text{trục2}} = 1000 \times 450\sqrt{24} – \frac{\sqrt{24}}{9} \times 450\sqrt{24} \)
\( A_{\text{trục2}} = 450000\sqrt{24} – \frac{450 \times 24}{9} \)
\( A_{\text{trục2}} = 450000\sqrt{24} – 50 \times 24 \)
\( A_{\text{trục2}} = 450000\sqrt{24} – 1200 \, \text{J} \)

Giá trị này xấp xỉ:

\( A_{\text{trục2}} \approx 450000 \times 4,9 – 1200 \approx 2205000 – 1200 = 2203800 \, \text{J} \)

Tính công do cần trục thực hiện trên toàn bộ quãng đường

Tổng công mà cần trục thực hiện trên toàn bộ quãng đường là tổng công trong hai giai đoạn:

\( A_{\text{tổng}} = A_{\text{trục1}} + A_{\text{trục2}} \)
\( A_{\text{tổng}} = 11200 \, \text{J} + (450000\sqrt{24} – 1200) \, \text{J} \)
\( A_{\text{tổng}} = 10000 + 450000\sqrt{24} \, \text{J} \)

Giá trị xấp xỉ:

\( A_{\text{tổng}} \approx 10000 + 2203800 \approx 2213800 \, \text{J} \)

Kết luận:

Công do cần trục thực hiện trên toàn bộ quãng đường là \( 10000 + 450000\sqrt{24} \, \text{J} \), xấp xỉ \( 2213800 \, \text{J} \).

Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ từng giai đoạn chuyển động, áp dụng đúng các định luật và công thức vật lý. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!