Bài toán: Một cần cẩu nâng một vật khối lượng 3 tấn từ trạng thái nghỉ chuyển động thẳng lên cao. Vật có gia tốc không đổi là 0,5 m/s². Lấy g = 10 m/s². Tính công suất cần cẩu thực hiện trong 5 giây.

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm.

• Khối lượng của vật: m = 3 tấn. Chúng ta cần đổi đơn vị này về kilogam (kg) để phù hợp với các công thức vật lý. 1 tấn = 1000 kg, vậy m = 3 * 1000 = 3000 kg.
• Vật chuyển động thẳng lên cao với gia tốc không đổi: a = 0,5 m/s².
• Gia tốc trọng trường: g = 10 m/s².
• Thời gian: t = 5 giây.
• Chúng ta cần tính công suất của cần cẩu thực hiện trong 5 giây.

Các bước giải:

Bước 1: Tính lực căng của dây do cần cẩu tạo ra.

Khi cần cẩu nâng vật, lực tác dụng lên vật bao gồm trọng lực (P) hướng xuống và lực căng của dây (T) hướng lên. Do vật chuyển động có gia tốc, nên lực căng của dây sẽ khác với trọng lực.

Áp dụng định luật II Newton cho vật, ta có:

\( \vec{T} + \vec{P} = m\vec{a} \)

Chọn chiều dương hướng lên trên. Khi đó, phương trình trở thành:

\( T – P = ma \)

Trong đó:

• T là lực căng của dây (N).
• P là trọng lực của vật, \( P = mg \) (N).
• m là khối lượng của vật (kg).
• a là gia tốc của vật (m/s²).

Thay các giá trị đã biết vào:

\( P = m \times g = 3000 \times 10 = 30000 \) N

Vậy, lực căng của dây là:

\( T = ma + P = (3000 \times 0.5) + 30000 = 1500 + 30000 = 31500 \) N

Bước 2: Tính vận tốc của vật sau 5 giây.

Vật bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ, nên vận tốc ban đầu \( v_0 = 0 \). Với chuyển động thẳng biến đổi đều, vận tốc của vật sau thời gian t được tính theo công thức:

\( v = v_0 + at \)

Thay các giá trị vào:

\( v = 0 + (0.5 \times 5) = 2.5 \) m/s

Bước 3: Tính công của lực căng dây trong 5 giây.

Công của lực căng dây được tính bằng công thức:

\( A_T = T \times s \times \cos(\alpha) \)

Trong đó:

• T là lực căng dây (N).
• s là quãng đường vật đi được (m).
• \( \alpha \) là góc giữa vectơ lực T và vectơ dịch chuyển s. Vì lực căng dây và quãng đường đều hướng lên, nên \( \alpha = 0^\circ \) và \( \cos(0^\circ) = 1 \).

Trước tiên, chúng ta cần tính quãng đường vật đi được sau 5 giây:

\( s = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \)

Thay các giá trị vào:

\( s = (0 \times 5) + \frac{1}{2} \times 0.5 \times 5^2 = 0 + 0.25 \times 25 = 6.25 \) m

Vậy, công của lực căng dây là:

\( A_T = T \times s = 31500 \times 6.25 = 196875 \) J

Bước 4: Tính công suất trung bình của cần cẩu trong 5 giây.

Công suất trung bình được tính bằng công thức:

\( P_{tb} = \frac{A_T}{t} \)

Trong đó:

• \( A_T \) là công của lực căng dây (J).
• t là thời gian thực hiện công (s).

Thay các giá trị vào:

\( P_{tb} = \frac{196875}{5} = 39375 \) W

Bước 5: Tính công suất tức thời của cần cẩu tại thời điểm 5 giây.

Công suất tức thời tại một thời điểm được tính bằng công thức:

\( P = F \times v \times \cos(\alpha) \)

Ở đây, lực F chính là lực căng của dây T, và vận tốc v là vận tốc tại thời điểm 5 giây.

\( P = T \times v = 31500 \times 2.5 = 78750 \) W

Lưu ý: Bài toán yêu cầu tính “công suất cần cẩu thực hiện trong 5s”. Trong ngữ cảnh này, thường đề cập đến công suất tức thời tại thời điểm cuối cùng của khoảng thời gian đó, vì công suất có thể thay đổi. Nếu đề bài muốn hỏi công suất trung bình, sẽ có từ “trung bình” đi kèm.

Đáp số: Công suất cần cẩu thực hiện trong 5 giây là 78750 W.

Các em thấy không, chỉ cần áp dụng đúng các định luật và công thức, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Các em về nhà luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé!