Một quả bóng khối lượng m được ném thẳng đứng xuống dưới với tốc độ \( v_0 \) từ độ cao 15 m so với mặt đất. Khi chạm đất quả bóng nảy lên đến độ cao cực đại 40 m. Bỏ qua mọi lực cản và mất mát năng lượng khi va chạm. Chọn mốc thế năng tại mặt đất và lấy g = 9,8 m/s².

Xác định tốc độ của quả bóng khi vừa chạm đất và tốc độ \( v_0 \) của quả bóng.

Chúng ta có thể chia bài toán này thành hai giai đoạn chính:

1. Giai đoạn quả bóng rơi từ độ cao 15 m đến mặt đất.
2. Giai đoạn quả bóng nảy lên từ mặt đất đến độ cao cực đại 40 m.

Vì bài toán yêu cầu bỏ qua mọi lực cản và mất mát năng lượng khi va chạm, nên chúng ta sẽ áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho từng giai đoạn.

1. Xác định tốc độ của quả bóng khi vừa chạm đất:

Chúng ta sẽ xét giai đoạn quả bóng rơi từ độ cao ban đầu \( h_1 = 15 \) m đến mặt đất (độ cao \( h_2 = 0 \)).

Ở vị trí ban đầu (độ cao \( h_1 \)), quả bóng có:

• Thế năng: \( W_{t1} = mgh_1 = m \times 9,8 \times 15 \)
• Động năng: \( W_{đ1} = \frac{1}{2}mv_0^2 \)
• Cơ năng: \( W_1 = W_{t1} + W_{đ1} = mgh_1 + \frac{1}{2}mv_0^2 \)

Ở vị trí khi vừa chạm đất (độ cao \( h_2 = 0 \)), quả bóng có:

• Thế năng: \( W_{t2} = mgh_2 = mg \times 0 = 0 \)
• Động năng: \( W_{đ2} = \frac{1}{2}mv^2 \), với \( v \) là tốc độ khi vừa chạm đất.
• Cơ năng: \( W_2 = W_{t2} + W_{đ2} = \frac{1}{2}mv^2 \)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho giai đoạn rơi:

\( W_1 = W_2 \)

\( mgh_1 + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 \)

Vì khối lượng \( m \) khác 0, ta có thể chia cả hai vế cho \( m \):

\( gh_1 + \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 \)

Để xác định \( v \), chúng ta cần biết \( v_0 \). Tuy nhiên, bài toán yêu cầu xác định cả \( v \) và \( v_0 \). Điều này cho thấy chúng ta cần thêm thông tin từ giai đoạn thứ hai.

2. Xác định tốc độ \( v_0 \) của quả bóng:

Bây giờ, chúng ta xét giai đoạn quả bóng nảy lên từ mặt đất (độ cao \( h_2 = 0 \)) đến độ cao cực đại \( h_3 = 40 \) m.

Khi quả bóng vừa chạm đất, nó có tốc độ \( v \) và động năng \( W_{đ2} = \frac{1}{2}mv^2 \). Đây chính là năng lượng nó có được sau va chạm (do không mất mát năng lượng).

Khi quả bóng đạt độ cao cực đại \( h_3 = 40 \) m, tốc độ của nó bằng 0, nên động năng bằng 0.

• Thế năng tại độ cao cực đại: \( W_{t3} = mgh_3 = m \times 9,8 \times 40 \)
• Động năng tại độ cao cực đại: \( W_{đ3} = 0 \)
• Cơ năng tại độ cao cực đại: \( W_3 = W_{t3} + W_{đ3} = mgh_3 \)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho giai đoạn nảy lên:

\( W_2 = W_3 \)

\( \frac{1}{2}mv^2 = mgh_3 \)

Chia cả hai vế cho \( m \):

\( \frac{1}{2}v^2 = gh_3 \)

\( v^2 = 2gh_3 \)

\( v = \sqrt{2gh_3} \)

Thay số vào, ta tính được tốc độ khi vừa chạm đất:

\( v = \sqrt{2 \times 9,8 \times 40} \)

\( v = \sqrt{784} \)

\( v = 28 \) m/s

Vậy, tốc độ của quả bóng khi vừa chạm đất là 28 m/s.

Bây giờ chúng ta quay lại biểu thức bảo toàn cơ năng cho giai đoạn rơi, và thay giá trị \( v \) vừa tìm được vào:

\( gh_1 + \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 \)

Chúng ta có \( gh_1 = 9,8 \times 15 \) và \( \frac{1}{2}v^2 = gh_3 \) (từ \( v^2 = 2gh_3 \)).

Do đó, phương trình trở thành:

\( gh_1 + \frac{1}{2}v_0^2 = gh_3 \)

Ta cần tìm \( v_0^2 \):

\( \frac{1}{2}v_0^2 = gh_3 – gh_1 \)

\( v_0^2 = 2(gh_3 – gh_1) \)

\( v_0 = \sqrt{2(gh_3 – gh_1)} \)

Thay số vào:

\( v_0 = \sqrt{2 \times (9,8 \times 40 – 9,8 \times 15)} \)

\( v_0 = \sqrt{2 \times 9,8 \times (40 – 15)} \)

\( v_0 = \sqrt{2 \times 9,8 \times 25} \)

\( v_0 = \sqrt{490} \)

\( v_0 \approx 22,14 \) m/s

Vậy, tốc độ ban đầu \( v_0 \) của quả bóng là khoảng 22,14 m/s.

Nếu \( v_0 \approx 22,14 \) m/s và \( h_1 = 15 \) m, thì:

\( \frac{1}{2}v^2 = gh_1 + \frac{1}{2}v_0^2 \)

\( \frac{1}{2}v^2 = 9,8 \times 15 + \frac{1}{2} \times (22,14)^2 \)

\( \frac{1}{2}v^2 = 147 + \frac{1}{2} \times 490,1796 \)

\( \frac{1}{2}v^2 = 147 + 245,0898 \)

\( \frac{1}{2}v^2 = 392,0898 \)

\( v^2 = 784,1796 \)

\( v \approx 28,003 \) m/s. Giá trị này gần với 28 m/s chúng ta đã tính.

Mặt khác, nếu quả bóng nảy lên với tốc độ \( v = 28 \) m/s, thì độ cao cực đại đạt được là:

\( \frac{1}{2}mv^2 = mgh_3 \)

\( h_3 = \frac{v^2}{2g} = \frac{28^2}{2 \times 9,8} = \frac{784}{19,6} = 40 \) m. Giá trị này hoàn toàn khớp với đề bài.

Tốc độ của quả bóng khi vừa chạm đất là \( v = 28 \) m/s.

Tốc độ ban đầu của quả bóng khi ném là \( v_0 \approx 22,14 \) m/s.

Các em có câu hỏi nào không?