Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay liên quan đến chuyển động của con lắc đồng hồ, một ứng dụng thú vị của định luật bảo toàn cơ năng mà chúng ta đã học.

Đề bài:

Xét chuyển động của một con lắc đồng hồ. Góc lệch của thanh treo nhẹ với phương thẳng đứng \(30°\). Tính tỉ số thế năng với động năng khi thanh treo tạo với phương thẳng đứng \(10°\). Chọn gốc thế năng là vị trí thấp nhất của vật nặng. \(g = 9.8m / s ^ 2\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng kiến thức về Thế năng trọng trường và Định luật bảo toàn cơ năng.

Phân tích bài toán:

1. Con lắc được thả (nghĩa là vận tốc ban đầu bằng 0) từ góc lệch cực đại \( \alpha_0 = 30° \).

2. Chúng ta cần tính tỉ số \( W_t / W_đ \) khi con lắc đang ở vị trí có góc lệch \( \alpha = 10° \).

3. Gốc thế năng được chọn tại vị trí thấp nhất của vật nặng.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Xác định thế năng tại một vị trí bất kỳ.

Gọi \( L \) là chiều dài của thanh treo (không đáng kể khối lượng), \( m \) là khối lượng của vật nặng. Khi thanh treo lệch một góc \( \alpha \) so với phương thẳng đứng, độ cao của vật nặng so với vị trí thấp nhất (gốc thế năng) là \( h \).

Từ hình học, ta có: \( h = L – L\cos\alpha = L(1 – \cos\alpha) \).

Vậy, thế năng của vật nặng tại vị trí có góc lệch \( \alpha \) là:
\( W_t = mgh = mgL(1 – \cos\alpha) \).

Bước 2: Áp dụng Định luật bảo toàn cơ năng.

Vì bỏ qua ma sát và sức cản của không khí (con lắc đồng hồ thường được xem là lý tưởng trong các bài toán cơ bản), nên cơ năng của con lắc được bảo toàn. Cơ năng tại mọi vị trí đều bằng cơ năng ban đầu khi vật được thả.

Tại vị trí ban đầu (khi thả vật):
Góc lệch ban đầu là \( \alpha_0 = 30° \). Vật được thả nên vận tốc ban đầu \( v_0 = 0 \).

• Động năng ban đầu: \( W_{đ0} = \frac{1}{2}mv_0^2 = 0 \).
• Thế năng ban đầu: \( W_{t0} = mgL(1 – \cos\alpha_0) = mgL(1 – \cos(30°)) \).

Vậy, cơ năng toàn phần của hệ là:
\( W_{cơ} = W_{đ0} + W_{t0} = 0 + mgL(1 – \cos(30°)) = mgL(1 – \cos(30°)) \).

Tại vị trí cần xét (khi góc lệch là \( \alpha = 10° \)):
Gọi \( W_đ \) là động năng và \( W_t \) là thế năng của vật tại vị trí này.

• Thế năng: \( W_t = mgL(1 – \cos\alpha) = mgL(1 – \cos(10°)) \).
• Động năng: \( W_đ \).

Theo định luật bảo toàn cơ năng:

\( W_{cơ} = W_đ + W_t \)

\( mgL(1 – \cos(30°)) = W_đ + mgL(1 – \cos(10°)) \)

Bước 3: Tính động năng \( W_đ \).

Từ phương trình bảo toàn cơ năng, ta rút ra động năng \( W_đ \):
\( W_đ = mgL(1 – \cos(30°)) – mgL(1 – \cos(10°)) \)
\( W_đ = mgL[(1 – \cos(30°)) – (1 – \cos(10°))] \)
\( W_đ = mgL[1 – \cos(30°) – 1 + \cos(10°)] \)
\( W_đ = mgL(\cos(10°) – \cos(30°)) \).

Bước 4: Tính tỉ số thế năng với động năng \( W_t / W_đ \).

Bây giờ chúng ta đã có biểu thức cho \( W_t \) và \( W_đ \):
\( W_t = mgL(1 – \cos(10°)) \)
\( W_đ = mgL(\cos(10°) – \cos(30°)) \)

Lập tỉ số:

\( \frac{W_t}{W_đ} = \frac{mgL(1 – \cos(10°))}{mgL(\cos(10°) – \cos(30°))} \)

Chúng ta có thể triệt tiêu \( mgL \) ở cả tử và mẫu:

\( \frac{W_t}{W_đ} = \frac{1 – \cos(10°)}{\cos(10°) – \cos(30°)} \)

Bước 5: Thay số và tính toán.

Sử dụng máy tính để tính các giá trị cosin (đảm bảo máy tính ở chế độ độ – DEG):

• \( \cos(10°) \approx 0.9848 \)
• \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660 \)

Thay các giá trị này vào biểu thức tỉ số:

\( \frac{W_t}{W_đ} = \frac{1 – 0.9848}{0.9848 – 0.8660} \)
\( \frac{W_t}{W_đ} = \frac{0.0152}{0.1188} \)
\( \frac{W_t}{W_đ} \approx 0.1279 \)

Kết luận:

Vậy, khi thanh treo của con lắc tạo với phương thẳng đứng một góc \(10°\), tỉ số giữa thế năng và động năng của vật nặng là khoảng \( 0.1279 \).

Các em thấy không, việc áp dụng định luật bảo toàn cơ năng giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách rất mạch lạc mà không cần phải biết khối lượng của vật hay chiều dài của dây treo! Đó chính là vẻ đẹp của các định luật bảo toàn trong Vật lý.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!