Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hệ thấu kính. Đây là một bài toán khá hay, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức và quy ước dấu trong quang hình học.

Đề bài: Hai thấu kính hội tụ có tiêu cự lần lượt là \(f_1\) = 10cm và \(f_2\) = 12 cm được đặt đồng trục, các quang tâm cách nhau 1 đoạn \(l\) = 30 cm. Ở khoảng cách giữa hai quang tâm, có điểm sáng A. Ảnh tạo bởi hai thấu kính đều là ảnh thật, cách nhau khoảng \(A_1 A_2\) = 126cm. Xác định vị trí của A.

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và giải quyết từng bước một nhé!

Tóm tắt dữ kiện:

• Thấu kính hội tụ \(L_1\): tiêu cự \(f_1\) = 10 cm.
• Thấu kính hội tụ \(L_2\): tiêu cự \(f_2\) = 12 cm.
• Khoảng cách giữa hai quang tâm: \(l = O_1 O_2\) = 30 cm.
• Điểm sáng A nằm giữa \(O_1\) và \(O_2\).
• Ảnh \(A_1\) tạo bởi \(L_1\) là ảnh thật.
• Ảnh \(A_2\) tạo bởi \(L_2\) là ảnh thật.
• Khoảng cách giữa hai ảnh: \(A_1 A_2\) = 126 cm.

Yêu cầu: Xác định vị trí của A (tức là khoảng cách từ A đến một trong hai thấu kính, ví dụ \(d_1\) hoặc \(d_2\)).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập các đại lượng và quy ước dấu

Chúng ta gọi:

• \(d_1\) là khoảng cách từ vật A đến thấu kính \(L_1\).
• \(d’_1\) là khoảng cách từ ảnh \(A_1\) đến thấu kính \(L_1\).
• \(d_2\) là khoảng cách từ vật A đến thấu kính \(L_2\).
• \(d’_2\) là khoảng cách từ ảnh \(A_2\) đến thấu kính \(L_2\).

Vì điểm sáng A nằm giữa hai quang tâm \(O_1\) và \(O_2\), nên ta có:

\(d_1 > 0\) và \(d_2 > 0\).

Và khoảng cách giữa hai quang tâm là \(l = d_1 + d_2\).

Vậy, \(d_1 + d_2 = 30\) cm. (1)

Đối với thấu kính hội tụ, tiêu cự \(f > 0\).

Vì cả \(A_1\) và \(A_2\) đều là ảnh thật, nên theo quy ước dấu, khoảng cách ảnh \(d’_1 > 0\) và \(d’_2 > 0\).

Để tạo ảnh thật qua thấu kính hội tụ khi vật thật, thì vật phải nằm ngoài tiêu cự. Tức là:

\(d_1 > f_1\) và \(d_2 > f_2\).

Bước 2: Áp dụng công thức thấu kính

1. Đối với thấu kính \(L_1\):

Công thức thấu kính: \(\frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d’_1}\)

Từ đó suy ra: \(d’_1 = \frac{f_1 d_1}{d_1 – f_1}\)

Thay \(f_1\) = 10 cm vào: \(d’_1 = \frac{10 d_1}{d_1 – 10}\) (2)

2. Đối với thấu kính \(L_2\):

Công thức thấu kính: \(\frac{1}{f_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{d’_2}\)

Từ đó suy ra: \(d’_2 = \frac{f_2 d_2}{d_2 – f_2}\)

Thay \(f_2\) = 12 cm vào: \(d’_2 = \frac{12 d_2}{d_2 – 12}\) (3)

Bước 3: Biểu diễn khoảng cách giữa hai ảnh \(A_1 A_2\)

Điểm sáng A nằm giữa \(O_1\) và \(O_2\). Vì \(A_1\) và \(A_2\) đều là ảnh thật, nên:

• Ảnh \(A_1\) sẽ nằm về phía bên phải \(O_1\) (ngược chiều truyền ánh sáng nếu ta coi ánh sáng từ A đến \(L_1\) là chiều dương). Khoảng cách \(O_1 A_1 = d’_1\).
• Ảnh \(A_2\) sẽ nằm về phía bên trái \(O_2\). Khoảng cách \(O_2 A_2 = d’_2\).

Khi đó, vị trí tương đối của các điểm trên trục chính sẽ là: \(A_2\) — \(O_2\) — A — \(O_1\) — \(A_1\).

Vậy, khoảng cách giữa hai ảnh \(A_1 A_2\) sẽ là tổng các khoảng cách:

\(A_1 A_2 = O_2 A_2 + O_1 O_2 + O_1 A_1\)

\(A_1 A_2 = d’_2 + l + d’_1\)

Theo đề bài, \(A_1 A_2\) = 126 cm và \(l\) = 30 cm, nên:

\(126 = d’_1 + d’_2 + 30\)

\(d’_1 + d’_2 = 126 – 30\)

\(d’_1 + d’_2 = 96\) cm (4)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Thay (2) và (3) vào (4):

\(\frac{10 d_1}{d_1 – 10} + \frac{12 d_2}{d_2 – 12} = 96\) (5)

Từ phương trình (1), ta có \(d_2 = 30 – d_1\). Thay vào (5):

\(\frac{10 d_1}{d_1 – 10} + \frac{12 (30 – d_1)}{(30 – d_1) – 12} = 96\)

\(\frac{10 d_1}{d_1 – 10} + \frac{12 (30 – d_1)}{18 – d_1} = 96\)

Quy đồng mẫu số:

\(10 d_1 (18 – d_1) + 12 (30 – d_1)(d_1 – 10) = 96 (d_1 – 10)(18 – d_1)\)

\(180 d_1 – 10 d_1^2 + 12 (30 d_1 – 300 – d_1^2 + 10 d_1) = 96 (18 d_1 – d_1^2 – 180 + 10 d_1)\)

\(180 d_1 – 10 d_1^2 + 12 (-d_1^2 + 40 d_1 – 300) = 96 (-d_1^2 + 28 d_1 – 180)\)

\(180 d_1 – 10 d_1^2 – 12 d_1^2 + 480 d_1 – 3600 = -96 d_1^2 + 2688 d_1 – 17280\)

Gộp các số hạng:

\(-22 d_1^2 + 660 d_1 – 3600 = -96 d_1^2 + 2688 d_1 – 17280\)

Chuyển tất cả các số hạng sang một vế:

\((-22 + 96) d_1^2 + (660 – 2688) d_1 + (-3600 + 17280) = 0\)

\(74 d_1^2 – 2028 d_1 + 13680 = 0\)

Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản:

\(37 d_1^2 – 1014 d_1 + 6840 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 37\), \(b = -1014\), \(c = 6840\).

Tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (-1014)^2 – 4 \times 37 \times 6840\)

\(\Delta = 1028196 – 1012320\)

\(\Delta = 15876\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{15876} = 126\)

Các nghiệm của \(d_1\) là:

\(d_1 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1014 \pm 126}{2 \times 37}\)

\(d_1 = \frac{1014 \pm 126}{74}\)

Ta có hai giá trị của \(d_1\):

Trường hợp 1: \(d_{1a} = \frac{1014 + 126}{74} = \frac{1140}{74} \approx 15.41\) cm

Trường hợp 2: \(d_{1b} = \frac{1014 – 126}{74} = \frac{888}{74} = 12\) cm

Bước 5: Kiểm tra điều kiện vật lý

Chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị \(d_1\) này có thỏa mãn các điều kiện vật lý của bài toán hay không:

1. Vật A nằm giữa \(O_1\) và \(O_2\), tức là \(0 < d_1 < 30\) cm.
2. Ảnh \(A_1\) là ảnh thật, tức là \(d_1 > f_1\) (hay \(d_1 > 10\) cm).
3. Ảnh \(A_2\) là ảnh thật, tức là \(d_2 > f_2\) (hay \(d_2 > 12\) cm).

Xét Trường hợp 1: \(d_{1a} \approx 15.41\) cm

• \(0 < 15.41 < 30\). Điều kiện 1 thỏa mãn.
• \(d_{1a} = 15.41\) cm \(> f_1 = 10\) cm. Điều kiện 2 thỏa mãn.
• Tính \(d_2\): \(d_2 = 30 – d_{1a} = 30 – 15.41 = 14.59\) cm.
  
  \(d_2 = 14.59\) cm \(> f_2 = 12\) cm. Điều kiện 3 thỏa mãn.

Vậy, \(d_1 = \frac{1140}{74}\) cm là một nghiệm hợp lệ.

Xét Trường hợp 2: \(d_{1b} = 12\) cm

• \(0 < 12 < 30\). Điều kiện 1 thỏa mãn.
• \(d_{1b} = 12\) cm \(> f_1 = 10\) cm. Điều kiện 2 thỏa mãn.
• Tính \(d_2\): \(d_2 = 30 – d_{1b} = 30 – 12 = 18\) cm.
  
  \(d_2 = 18\) cm \(> f_2 = 12\) cm. Điều kiện 3 thỏa mãn.

Vậy, \(d_1 = 12\) cm là một nghiệm hợp lệ.

Cả hai giá trị \(d_1\) đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Kết luận:

Có hai vị trí của điểm sáng A thỏa mãn yêu cầu đề bài:

1. Điểm sáng A cách thấu kính \(L_1\) một khoảng \(d_1 \approx 15.41\) cm (và cách \(L_2\) một khoảng \(d_2 \approx 14.59\) cm).
2. Điểm sáng A cách thấu kính \(L_1\) một khoảng \(d_1 = 12\) cm (và cách \(L_2\) một khoảng \(d_2 = 18\) cm).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán này. Hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải và nắm vững cách áp dụng các công thức thấu kính. Hẹn gặp lại các em trong các bài học tiếp theo!