Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về sóng dừng trên sợi dây đàn hồi. Đây là một bài toán khá tổng hợp, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các kiến thức về sóng dừng, dao động điều hòa và cách phân tích pha dao động.

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và tìm lời giải chi tiết nhé!

Đề bài: Người ta làm thí nghiệm tạo sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi AB có hai đầu cố định. Sợi dây AB dài 1,2 m. Trên dây xuất hiện sóng dừng với 20 bụng sóng. Xét các điểm M, N, P trên dãy có vị trí cân bằng cách A các khoảng lần lượt là 15 cm, 19 cm và 28 cm. Biên độ sóng tại M lớn hơn biên độ sóng tại N là 2 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp để li độ tại M bằng biên độ tại P là 0,004 s. Biết tại thời điểm \( t_1 \) li độ của điểm N là 1cm đang hướng về phía VTCB.

Xác định li độ của P tại \( t_2 = t_1 + 0.006 \)s.

Phân tích và Giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi theo các bước sau:

1. Xác định bước sóng \( \lambda \).
2. Xác định biểu thức biên độ dao động tại các điểm M, N, P và tìm biên độ bụng sóng.
3. Xác định chu kỳ \( T \) và tần số góc \( \omega \).
4. Xác định trạng thái dao động (pha) của điểm N tại thời điểm \( t_1 \).
5. Tính toán li độ của điểm P tại thời điểm \( t_2 \).

1. Tính bước sóng \( \lambda \):

Đối với sóng dừng trên sợi dây có hai đầu cố định, chiều dài dây \( l \) được liên hệ với bước sóng \( \lambda \) và số bụng sóng \( k \) bởi công thức:

\( l = k \frac{\lambda}{2} \)

Theo đề bài, ta có \( l = 1,2 \) m và số bụng sóng \( k = 20 \).

Thay các giá trị vào công thức:

\( 1,2 = 20 \times \frac{\lambda}{2} \)

\( 1,2 = 10 \lambda \)

Từ đó, ta tính được bước sóng:

\( \lambda = \frac{1,2}{10} = 0,12 \) m \( = 12 \) cm.

2. Xác định biểu thức biên độ sóng tại các điểm M, N, P và tìm biên độ bụng sóng:

Biên độ dao động tại một điểm trên sợi dây sóng dừng, cách một đầu cố định (ví dụ đầu A) một khoảng \( x \), được cho bởi công thức:

\( A_x = A_{bung} |\sin(\frac{2\pi x}{\lambda})| \)

Trong đó \( A_{bung} \) là biên độ dao động tại bụng sóng.

Bây giờ chúng ta sẽ tính biên độ tại các điểm M, N, P:

• Tại điểm M: \( x_M = 15 \) cm.
  
  \( \frac{2\pi x_M}{\lambda} = \frac{2\pi \times 15}{12} = \frac{5\pi}{2} \) rad.
  
  \( \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).
  
  Vậy, biên độ tại M là: \( A_M = A_{bung} |1| = A_{bung} \).
• Tại điểm N: \( x_N = 19 \) cm.
  
  \( \frac{2\pi x_N}{\lambda} = \frac{2\pi \times 19}{12} = \frac{19\pi}{6} \) rad.
  
  \( \sin(\frac{19\pi}{6}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \).
  
  Vậy, biên độ tại N là: \( A_N = A_{bung} |-\frac{1}{2}| = \frac{A_{bung}}{2} \).
• Tại điểm P: \( x_P = 28 \) cm.
  
  \( \frac{2\pi x_P}{\lambda} = \frac{2\pi \times 28}{12} = \frac{14\pi}{3} \) rad.
  
  \( \sin(\frac{14\pi}{3}) = \sin(4\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  
  Vậy, biên độ tại P là: \( A_P = A_{bung} |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2} A_{bung} \).

Theo đề bài, biên độ sóng tại M lớn hơn biên độ sóng tại N là 2 cm:

\( A_M – A_N = 2 \) cm

Thay các biểu thức của \( A_M \) và \( A_N \) theo \( A_{bung} \) vào phương trình:

\( A_{bung} – \frac{A_{bung}}{2} = 2 \)

\( \frac{A_{bung}}{2} = 2 \)

\( A_{bung} = 4 \) cm.

Vậy, chúng ta có các giá trị biên độ cụ thể:

• \( A_M = 4 \) cm
• \( A_N = \frac{4}{2} = 2 \) cm
• \( A_P = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3} \) cm

3. Xác định chu kỳ \( T \) và tần số góc \( \omega \):

Li độ dao động của một điểm trên dây có thể được biểu diễn tổng quát là \( u(x,t) = A_x \cos(\omega t + \phi_0) \). (Lưu ý, các điểm trong cùng một bó sóng sẽ dao động cùng pha).

Theo đề bài, khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp để li độ tại M bằng biên độ tại P là \( \Delta t = 0,004 \) s.

Li độ của M là \( u_M(t) = A_M \cos(\omega t + \phi_0) \).

Chúng ta cần tìm thời điểm \( t \) mà \( u_M(t) = A_P \):

\( A_M \cos(\omega t + \phi_0) = A_P \)

\( \cos(\omega t + \phi_0) = \frac{A_P}{A_M} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Gọi \( \theta_0 \) là góc sao cho \( \cos(\theta_0) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Giá trị \( \theta_0 = \frac{\pi}{6} \) rad.

Trên một chu kỳ dao động, li độ của M bằng \( A_P \) tại các pha \( \pm \theta_0 \) (và các giá trị lặp lại sau mỗi \( 2\pi \)).

Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp li độ tại M bằng \( A_P \) là thời gian để pha dao động thay đổi từ \( \theta_0 \) đến \( -\theta_0 \) (hoặc \( 2\pi – \theta_0 \)) trong cùng một chu kỳ, khi vật đi từ vị trí \( A_P \) theo chiều âm, đến biên dương \( A_M \), rồi quay trở lại vị trí \( A_P \) theo chiều dương. Khoảng thời gian này tương ứng với sự thay đổi pha là \( 2\theta_0 \).

Vậy, \( \Delta t = \frac{2\theta_0}{\omega} \).

Thay giá trị \( \theta_0 = \frac{\pi}{6} \) vào:

\( \Delta t = \frac{2 \times \frac{\pi}{6}}{\omega} = \frac{\pi}{3\omega} \).

Theo đề bài, \( \Delta t = 0,004 \) s. Do đó:

\( \frac{\pi}{3\omega} = 0,004 \)

\( \omega = \frac{\pi}{3 \times 0,004} = \frac{\pi}{0,012} = \frac{1000\pi}{12} = \frac{250\pi}{3} \) rad/s.

4. Xác định trạng thái dao động (pha) của điểm N tại thời điểm \( t_1 \):

Để viết phương trình dao động của các điểm, chúng ta cần xem xét dấu của \( \sin(\frac{2\pi x}{\lambda}) \).

Ta có:

• Đối với M: \( \sin(\frac{2\pi x_M}{\lambda}) = 1 > 0 \).
• Đối với P: \( \sin(\frac{2\pi x_P}{\lambda}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \).
• Đối với N: \( \sin(\frac{2\pi x_N}{\lambda}) = -\frac{1}{2} < 0 \).

Điều này có nghĩa là các điểm M và P dao động cùng pha với nhau, còn điểm N dao động ngược pha với M và P.

Nếu ta chọn phương trình dao động cho M và P là \( u_M(t) = A_M \cos(\omega t + \phi_0) \) và \( u_P(t) = A_P \cos(\omega t + \phi_0) \), thì phương trình dao động cho N sẽ là:

\( u_N(t) = A_{bung} \sin(\frac{2\pi x_N}{\lambda}) \cos(\omega t + \phi_0) = A_{bung} (-\frac{1}{2}) \cos(\omega t + \phi_0) = -A_N \cos(\omega t + \phi_0) \).

Đặt \( \Phi(t) = \omega t + \phi_0 \). Khi đó, tại thời điểm \( t_1 \):

\( u_N(t_1) = -A_N \cos(\Phi(t_1)) = 1 \) cm.

Với \( A_N = 2 \) cm, ta có:

\( -2 \cos(\Phi(t_1)) = 1 \implies \cos(\Phi(t_1)) = -\frac{1}{2} \).

Tiếp theo, ta xét điều kiện “N đang hướng về phía VTCB”.

Vận tốc của N là \( v_N(t) = \frac{du_N}{dt} = \frac{d}{dt}(-A_N \cos(\Phi(t))) = -A_N (-\omega \sin(\Phi(t))) = A_N \omega \sin(\Phi(t)) \).

Tại \( t_1 \), li độ \( u_N(t_1) = 1 \) cm (dương). Khi vật đang ở li độ dương mà hướng về VTCB, tức là nó đang chuyển động theo chiều âm, nên vận tốc phải âm: \( v_N(t_1) < 0 \).

Vậy, \( A_N \omega \sin(\Phi(t_1)) < 0 \). Vì \( A_N > 0 \) và \( \omega > 0 \), suy ra \( \sin(\Phi(t_1)) < 0 \).

Kết hợp hai điều kiện:

• \( \cos(\Phi(t_1)) = -\frac{1}{2} \)
• \( \sin(\Phi(t_1)) < 0 \)

Điều này cho thấy pha \( \Phi(t_1) \) phải nằm ở góc phần tư thứ III trên đường tròn lượng giác.

Giá trị của \( \Phi(t_1) \) thỏa mãn là \( \Phi(t_1) = \frac{4\pi}{3} \) rad.

5. Tính toán li độ của điểm P tại thời điểm \( t_2 \):

Thời điểm \( t_2 \) được cho là \( t_2 = t_1 + 0,006 \) s.

Li độ của P tại \( t_2 \) là:

\( u_P(t_2) = A_P \cos(\omega t_2 + \phi_0) \)

\( u_P(t_2) = A_P \cos(\omega (t_1 + 0,006) + \phi_0) \)

\( u_P(t_2) = A_P \cos(\omega t_1 + \phi_0 + \omega \times 0,006) \)

Hay: \( u_P(t_2) = A_P \cos(\Phi(t_1) + \omega \times 0,006) \).

Chúng ta đã có các giá trị cần thiết:

• \( A_P = 2\sqrt{3} \) cm
• \( \Phi(t_1) = \frac{4\pi}{3} \) rad
• \( \omega = \frac{250\pi}{3} \) rad/s

Tính tích \( \omega \times 0,006 \):

\( \omega \times 0,006 = \frac{250\pi}{3} \times 0,006 = \frac{250\pi}{3} \times \frac{6}{1000} = \frac{1500\pi}{3000} = \frac{\pi}{2} \) rad.

Vậy, pha dao động tại \( t_2 \) là:

\( \Phi(t_2) = \Phi(t_1) + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \) rad.

Cuối cùng, tính li độ của P tại \( t_2 \):

\( u_P(t_2) = 2\sqrt{3} \cos(\frac{11\pi}{6}) \).

Ta biết rằng \( \cos(\frac{11\pi}{6}) = \cos(2\pi – \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Thay vào biểu thức li độ:

\( u_P(t_2) = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \) cm.

Kết luận:

Li độ của điểm P tại thời điểm \( t_2 = t_1 + 0.006 \)s là 3 cm.