Đề bài: Một vật búng lên từ chân mặt phẳng nghiêng cao 3m dài 6m với vận tốc ban đầu 5m/s theo phương mặt nghiêng. Lấy \(g=10 \text{ m/s}^2\)

a) Bỏ qua ma sát, tính độ cao của vật khi nó không có động năng? tính vận tốc của vật khi nó đi được quãng đường 3m?

b) Tính vận tốc của vật ở chân mặt phẳng nghiêng nếu hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là 0,1?

Để giải quyết bài toán này, trước hết chúng ta cần phân tích các thông số và xác định góc nghiêng của mặt phẳng.

I. Phân tích đề bài và xác định góc nghiêng

Chúng ta có:

• Chiều cao mặt phẳng nghiêng: \(h = 3 \text{ m}\)
• Chiều dài mặt phẳng nghiêng: \(L = 6 \text{ m}\)
• Vận tốc ban đầu: \(v_0 = 5 \text{ m/s}\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \text{ m/s}^2\)

Góc nghiêng \(\alpha\) của mặt phẳng được xác định từ tỉ số chiều cao và chiều dài:

\(\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Từ đó, ta suy ra \(\alpha = 30^\circ\).

Vậy, \(\cos\alpha = \sqrt{1 – \sin^2\alpha} = \sqrt{1 – (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 – \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\).

Bây giờ chúng ta sẽ đi vào từng phần của bài toán.

a) Bỏ qua ma sát

Trong trường hợp bỏ qua ma sát, cơ năng của vật được bảo toàn.

Phần 1: Tính độ cao của vật khi nó không có động năng.

Khi vật không có động năng, điều này có nghĩa là vận tốc của vật bằng 0 (\(v = 0\)). Đây chính là vị trí cao nhất mà vật đạt được trên mặt phẳng nghiêng.

Chọn mốc thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng.

• Tại chân mặt phẳng nghiêng (điểm A):
• Thế năng: \(U_A = mgH_A = mg(0) = 0\)
• Động năng: \(K_A = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(5^2) = \frac{25}{2}m\)
• Cơ năng: \(E_A = K_A + U_A = \frac{25}{2}m\)
• Tại vị trí cao nhất (điểm B), khi vận tốc bằng 0:
• Thế năng: \(U_B = mgh_B\) (với \(h_B\) là độ cao cần tìm)
• Động năng: \(K_B = \frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0\)
• Cơ năng: \(E_B = K_B + U_B = mgh_B\)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng (\(E_A = E_B\)):

\(\frac{25}{2}m = mgh_B\)

Chia cả hai vế cho \(m\) (vì \(m \ne 0\)):

\(\frac{25}{2} = gh_B\)

Thay \(g = 10 \text{ m/s}^2\) vào:

\(\frac{25}{2} = 10h_B\)

\(h_B = \frac{25}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4} = 1.25 \text{ m}\)

Vậy, độ cao của vật khi nó không có động năng là 1.25 m.

Phần 2: Tính vận tốc của vật khi nó đi được quãng đường 3m.

Quãng đường 3m ở đây là quãng đường dọc theo mặt phẳng nghiêng (kí hiệu là \(s\)).

Chúng ta đã tính được ở phần 1 rằng vật đạt độ cao tối đa 1.25 m. Độ cao này tương ứng với quãng đường đi được trên mặt phẳng nghiêng là:

\(s_{max} = \frac{h_B}{\sin\alpha} = \frac{1.25}{1/2} = 1.25 \times 2 = 2.5 \text{ m}\)

Như vậy, vật chỉ đi được quãng đường tối đa là 2.5 m trên mặt phẳng nghiêng trước khi dừng lại. Yêu cầu tính vận tốc khi đi được quãng đường 3m là không thể xảy ra khi vật đang đi lên, vì nó đã dừng lại và đổi chiều chuyển động ở quãng đường 2.5 m rồi.

Do đó, vật không thể đi được quãng đường 3m lên trên mặt phẳng nghiêng theo hướng chuyển động ban đầu. Tại vị trí quãng đường 3m (nếu có thể đến được), vật đã dừng lại và bắt đầu trượt xuống, hoặc thậm chí là không thể đến được vị trí đó khi đi lên.

Vì vật chỉ đi được tối đa 2.5m lên mặt phẳng nghiêng, nên vật sẽ không bao giờ đạt được quãng đường 3m khi còn đang chuyển động lên.

Thầy muốn các em lưu ý điểm này: đôi khi kết quả toán học chỉ ra rằng điều kiện trong đề bài không thể xảy ra trong thực tế chuyển động (ví dụ như vận tốc bình phương âm). Trong trường hợp này, ta phải kết luận rằng vật không đạt được quãng đường đó.

b) Tính vận tốc của vật ở chân mặt phẳng nghiêng nếu hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là 0,1?

Trong trường hợp có ma sát, cơ năng không còn được bảo toàn. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng định luật biến thiên cơ năng hoặc định lý động năng.

Vật sẽ đi lên một quãng đường, dừng lại, và sau đó trượt xuống chân mặt phẳng nghiêng.

Kí hiệu:

• Hệ số ma sát: \(\mu = 0.1\)
• Góc nghiêng: \(\alpha = 30^\circ\), \(\sin\alpha = 0.5\), \(\cos\alpha \approx 0.866\)

Bước 1: Tính quãng đường vật đi lên trên mặt phẳng nghiêng cho đến khi dừng lại (\(s_{lên}\)).

Chọn chiều dương hướng lên mặt phẳng nghiêng.

Các lực tác dụng lên vật khi đi lên:

• Trọng lực \(P = mg\): có thành phần song song với mặt phẳng nghiêng là \(P_x = mg\sin\alpha\) (hướng xuống) và thành phần vuông góc là \(P_y = mg\cos\alpha\) (hướng vào mặt phẳng).
• Phản lực pháp tuyến \(N\): vuông góc với mặt phẳng, hướng ra ngoài. \(N = P_y = mg\cos\alpha\).
• Lực ma sát trượt \(F_{ms}\): ngược chiều chuyển động (hướng xuống). \(F_{ms} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\).

Áp dụng định luật II Newton cho vật khi đi lên (hoặc định lý động năng):

Gia tốc của vật khi đi lên (\(a_{lên}\)):

\(-mg\sin\alpha – \mu mg\cos\alpha = ma_{lên}\)

\(a_{lên} = -g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)\)

Sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường: \(v_{cuối}^2 – v_{đầu}^2 = 2as\).

Vận tốc cuối khi dừng lại là \(0\), vận tốc đầu là \(v_0 = 5 \text{ m/s}\).

\(0^2 – v_0^2 = 2a_{lên}s_{lên}\)

\(-v_0^2 = 2[-g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)]s_{lên}\)

\(s_{lên} = \frac{v_0^2}{2g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}\)

Thay số vào:

\(s_{lên} = \frac{5^2}{2 \times 10 \times (0.5 + 0.1 \times 0.866)}\)

\(s_{lên} = \frac{25}{20 \times (0.5 + 0.0866)}\)

\(s_{lên} = \frac{25}{20 \times 0.5866} = \frac{25}{11.732} \approx 2.131 \text{ m}\)

Vậy, vật đi lên được quãng đường khoảng 2.131 m rồi dừng lại.

Bước 2: Tính vận tốc của vật khi nó trở về chân mặt phẳng nghiêng (\(v_f\)).

Chúng ta sẽ sử dụng định lý động năng (hay định luật biến thiên cơ năng) cho toàn bộ quá trình: từ lúc xuất phát ở chân mặt phẳng nghiêng, đi lên đến khi dừng lại, rồi trượt xuống trở lại chân mặt phẳng nghiêng.

Công của các lực không phải là lực thế (ở đây là lực ma sát) bằng độ biến thiên cơ năng:

\(W_{ms} = \Delta E_{cơ} = E_{cơ, cuối} – E_{cơ, đầu}\)

Chọn mốc thế năng tại chân mặt phẳng nghiêng.

• Trạng thái ban đầu (điểm A – chân mặt phẳng nghiêng):
• Vận tốc: \(v_0 = 5 \text{ m/s}\)
• Độ cao: \(h_A = 0\)
• Cơ năng: \(E_{cơ, đầu} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_A = \frac{1}{2}mv_0^2\)
• Trạng thái cuối (điểm A’ – trở lại chân mặt phẳng nghiêng):
• Vận tốc: \(v_f\) (cần tìm)
• Độ cao: \(h_{A’} = 0\)
• Cơ năng: \(E_{cơ, cuối} = \frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_{A’} = \frac{1}{2}mv_f^2\)

Công của lực ma sát (\(W_{ms}\)):

Lực ma sát luôn ngược chiều chuyển động. Trên đường đi lên, lực ma sát hướng xuống. Trên đường đi xuống, lực ma sát hướng lên. Vì vậy, công của lực ma sát luôn âm.

Tổng quãng đường di chuyển có ma sát là \(s_{tổng} = s_{lên} + s_{xuống}\). Do vật quay lại điểm ban đầu, nên \(s_{xuống} = s_{lên}\).

Vậy \(s_{tổng} = 2s_{lên}\).

Lực ma sát \(F_{ms} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\).

\(W_{ms} = -F_{ms} \times s_{tổng} = -\mu mg\cos\alpha \times (2s_{lên})\)

Áp dụng định luật biến thiên cơ năng:

\(-\mu mg\cos\alpha \times (2s_{lên}) = \frac{1}{2}mv_f^2 – \frac{1}{2}mv_0^2\)

Chia cả hai vế cho \(m\):

\(-2\mu g\cos\alpha \times s_{lên} = \frac{1}{2}v_f^2 – \frac{1}{2}v_0^2\)

Nhân cả hai vế với 2:

\(-4\mu g\cos\alpha \times s_{lên} = v_f^2 – v_0^2\)

\(v_f^2 = v_0^2 – 4\mu g\cos\alpha \times s_{lên}\)

Thay các giá trị đã biết vào:

• \(v_0 = 5 \text{ m/s}\)
• \(\mu = 0.1\)
• \(g = 10 \text{ m/s}^2\)
• \(\cos\alpha \approx 0.866\)
• \(s_{lên} \approx 2.131 \text{ m}\)

\(v_f^2 = 5^2 – 4 \times 0.1 \times 10 \times 0.866 \times 2.131\)

\(v_f^2 = 25 – 4 \times 0.866 \times 2.131\)

\(v_f^2 = 25 – 7.375 \text{ (xấp xỉ)}\)

\(v_f^2 = 17.625\)

\(v_f = \sqrt{17.625} \approx 4.198 \text{ m/s}\)

Vậy, vận tốc của vật ở chân mặt phẳng nghiêng khi trở về là khoảng 4.20 m/s.

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải các bài toán về năng lượng và ma sát. Hãy luôn cẩn thận trong từng bước tính toán và phân tích hiện tượng vật lý nhé!