Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị về điện trường của các điện tích điểm. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm những điểm mà cường độ điện trường tổng hợp bằng 0.

Các em hãy cùng đọc kỹ đề bài và quan sát hình 17.5 (trong sách giáo khoa của các em nhé):

Đặt điện tích điểm Q1 = 6.10^-8 C tại điểm A và điện tích điểm Q2 = – 2.10^-8 C tại điểm B cách A một khoảng bằng 3 cm (Hình 17.5). Hãy xác định những điểm mà cường độ điện trường tại đó bằng 0.

Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai điện tích điểm:
* Điện tích Q1 dương đặt tại A.
* Điện tích Q2 âm đặt tại B.
* Khoảng cách giữa A và B là r_AB = 3 cm = 0.03 m.

Cường độ điện trường tổng hợp tại một điểm M là tổng vector của cường độ điện trường do Q1 gây ra tại M (\(\vec{E_1}\)) và cường độ điện trường do Q2 gây ra tại M (\(\vec{E_2}\)). Chúng ta cần tìm điểm M sao cho \(\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2} = \vec{0}\).

Điều này có nghĩa là \(\vec{E_1}\) và \(\vec{E_2}\) phải cùng phương, ngược chiều và có cùng độ lớn: \(\vec{E_1} = -\vec{E_2}\), hay \(E_1 = E_2\) và hai vector này ngược chiều nhau.

Xét các trường hợp có thể xảy ra:

1. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AB:
* Nếu M nằm giữa A và B: \(\vec{E_1}\) hướng từ A ra xa M (do Q1 dương), và \(\vec{E_2}\) hướng từ M về phía B (do Q2 âm). Như vậy, \(\vec{E_1}\) và \(\vec{E_2}\) cùng phương, cùng chiều. Do đó, cường độ điện trường tổng hợp tại M sẽ khác 0 và có độ lớn bằng tổng độ lớn của \(\vec{E_1}\) và \(\vec{E_2}\). Trường hợp này loại.
* Nếu M nằm ngoài đoạn AB, về phía A (M – A – B): \(\vec{E_1}\) hướng từ A ra xa M (ngược chiều MA), và \(\vec{E_2}\) hướng từ B về phía M (cùng chiều MB). Như vậy, \(\vec{E_1}\) và \(\vec{E_2}\) cùng phương, ngược chiều. Đây là trường hợp có thể có điểm M mà cường độ điện trường bằng 0.
* Nếu M nằm ngoài đoạn AB, về phía B (A – B – M): \(\vec{E_1}\) hướng từ A về phía M (cùng chiều AM), và \(\vec{E_2}\) hướng từ B ra xa M (ngược chiều MB). Như vậy, \(\vec{E_1}\) và \(\vec{E_2}\) cùng phương, ngược chiều. Đây cũng là trường hợp có thể có điểm M mà cường độ điện trường bằng 0.

2. Điểm M không nằm trên đường thẳng AB:
* Nếu M không nằm trên đường thẳng AB, thì \(\vec{E_1}\) và \(\vec{E_2}\) không cùng phương. Để tổng hai vector này bằng 0 thì hai vector đó phải bằng 0, điều này chỉ xảy ra khi điểm M trùng với A và B, nhưng đề bài yêu cầu tìm điểm khác A và B. Do đó, trường hợp này không có điểm nào mà cường độ điện trường bằng 0.

Kết luận từ phân tích: Điểm M mà cường độ điện trường bằng 0 chỉ có thể nằm trên đường thẳng đi qua A và B, và nằm ngoài đoạn AB. Hơn nữa, vì độ lớn của Q1 lớn hơn độ lớn của Q2 (\(|Q_1| > |Q_2|\)), nên điểm M phải nằm gần điện tích có độ lớn nhỏ hơn, tức là gần B. Vậy điểm M phải nằm trên đường thẳng AB, ngoài đoạn AB và về phía B.

Giải chi tiết:

Giả sử điểm M nằm trên đường thẳng AB, ngoài đoạn AB và về phía B.
Ta gọi khoảng cách từ A đến M là r_AM, và khoảng cách từ B đến M là r_BM.
Vì M nằm ngoài đoạn AB về phía B, ta có: r_AM = r_AB + r_BM.
Độ lớn cường độ điện trường tại M do Q1 gây ra là:
\(E_1 = k \frac{|Q_1|}{r_{AM}^2}\)

Độ lớn cường độ điện trường tại M do Q2 gây ra là:
\(E_2 = k \frac{|Q_2|}{r_{BM}^2}\)

Tại điểm M, \(\vec{E_1}\) hướng từ A ra xa M, và \(\vec{E_2}\) hướng từ M về phía B (ngược chiều với \(\vec{E_1}\)).
Để cường độ điện trường tổng hợp bằng 0, ta cần:
\(\vec{E_1} + \vec{E_2} = \vec{0} \implies \vec{E_1} = -\vec{E_2}\)
Điều này xảy ra khi \(E_1 = E_2\) và hai vector ngược chiều.
\(k \frac{|Q_1|}{r_{AM}^2} = k \frac{|Q_2|}{r_{BM}^2}\)

Ta có:
\(|Q_1| = 6.10^{-8} C\)
\(|Q_2| = 2.10^{-8} C\)
\(r_{AB} = 0.03 \, m\)

Thay số vào phương trình:
\(\frac{6.10^{-8}}{r_{AM}^2} = \frac{2.10^{-8}}{r_{BM}^2}\)
\(\frac{6}{r_{AM}^2} = \frac{2}{r_{BM}^2}\)
\(3 r_{BM}^2 = r_{AM}^2\)
\(\sqrt{3} r_{BM} = r_{AM}\) (Vì r_AM và r_BM đều là khoảng cách nên dương)

Ta có mối liên hệ về khoảng cách: \(r_{AM} = r_{AB} + r_{BM} = 0.03 + r_{BM}\)

Thế vào phương trình \(\sqrt{3} r_{BM} = r_{AM}\):
\(\sqrt{3} r_{BM} = 0.03 + r_{BM}\)
\(\sqrt{3} r_{BM} – r_{BM} = 0.03\)
\(r_{BM} (\sqrt{3} – 1) = 0.03\)
\(r_{BM} = \frac{0.03}{\sqrt{3} – 1}\)

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3} + 1\):
\(r_{BM} = \frac{0.03 (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)}\)
\(r_{BM} = \frac{0.03 (\sqrt{3} + 1)}{3 – 1}\)
\(r_{BM} = \frac{0.03 (\sqrt{3} + 1)}{2}\)
\(r_{BM} \approx \frac{0.03 \times (1.732 + 1)}{2}\)
\(r_{BM} \approx \frac{0.03 \times 2.732}{2}\)
\(r_{BM} \approx 0.03 \times 1.366\)
\(r_{BM} \approx 0.04098 \, m\)
\(r_{BM} \approx 4.1 \, cm\)

Sau đó, ta tính r_AM:
\(r_{AM} = r_{AB} + r_{BM} = 0.03 + 0.04098 = 0.07098 \, m \approx 7.1 \, cm\)

Hoặc ta cũng có thể tính \(r_{AM} = \sqrt{3} r_{BM} \approx 1.732 \times 0.04098 \approx 0.07098 \, m\).

Vậy, có một điểm M nằm trên đường thẳng AB, cách B một khoảng xấp xỉ 4.1 cm về phía B (tức là xa A hơn B) mà tại đó cường độ điện trường tổng hợp bằng 0.

Kiểm tra lại trường hợp M nằm ngoài đoạn AB về phía A:

Trong trường hợp này, \(r_{BM} = r_{AM} + r_{AB}\).
Phương trình \(E_1 = E_2\) trở thành:
\(\frac{|Q_1|}{r_{AM}^2} = \frac{|Q_2|}{r_{BM}^2}\)
\(\frac{6.10^{-8}}{r_{AM}^2} = \frac{2.10^{-8}}{(r_{AM} + 0.03)^2}\)
\(3 (r_{AM} + 0.03)^2 = r_{AM}^2\)
\(\sqrt{3} (r_{AM} + 0.03) = r_{AM}\) (lấy căn bậc hai hai vế, xét trường hợp dương)
\(\sqrt{3} r_{AM} + 0.03\sqrt{3} = r_{AM}\)
\(0.03\sqrt{3} = r_{AM} (1 – \sqrt{3})\)
\(r_{AM} = \frac{0.03\sqrt{3}}{1 – \sqrt{3}}\)
Giá trị này âm, do \(1 – \sqrt{3}\) âm. Khoảng cách không thể âm, nên trường hợp này không có điểm M thỏa mãn.

Kết luận cuối cùng:

Chỉ có một điểm M duy nhất mà tại đó cường độ điện trường tổng hợp bằng 0. Điểm này nằm trên đường thẳng AB, ngoài đoạn AB và về phía điện tích Q2 (điện tích âm). Khoảng cách từ điểm M đến B là \(r_{BM} = \frac{0.03 (\sqrt{3} + 1)}{2} \, m \approx 4.1 \, cm\).

Các em đã hiểu bài toán chưa? Hãy xem lại các bước giải và cố gắng tự mình làm lại bài này nhé. Chúc các em học tốt!