Đề bài:
Con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ khối lượng \(m = 100g\), sợi dây có chiều dài \(l = 1m\). Khi con lắc đang nằm cân bằng người ta kéo nó đến vị trí sao cho phương sợi dây hợp với phương thẳng đứng một góc \(5^\circ\) rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hoà. Lấy gia tốc trọng trường \(g = \pi^2 = 10 m/s^2\). Bỏ qua mọi lực cản.
a./ Tìm gia tốc của con lắc khi lực căng dây bằng trọng lực.
b./ Tính quãng đường lớn nhất vật đi được trong thời gian \(\Delta t = 5,25s\).
c./ Khi con lắc có li độ góc \(\alpha\) thì người ta giữ một điểm trên dây treo, vật tiếp tục dao động điều hoà với chu kì và biên độ lần lượt là 1s và 4cm. Xác định giá trị của \(\alpha\).

—

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta tóm tắt các thông số đã cho:

• Khối lượng quả cầu: \(m = 100g = 0.1 kg\)
• Chiều dài dây: \(l = 1m\)
• Góc lệch cực đại ban đầu (biên độ góc): \(\alpha_0 = 5^\circ\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = \pi^2 = 10 m/s^2\)

Do góc \(\alpha_0 = 5^\circ\) là một góc nhỏ, con lắc dao động điều hoà. Chúng ta sẽ sử dụng các công thức xấp xỉ cho góc nhỏ (\(\sin\alpha \approx \alpha\), \(\cos\alpha \approx 1 – \frac{\alpha^2}{2}\)) khi cần thiết, và các góc phải được đổi sang radian.
Chuyển đổi \(\alpha_0\) sang radian: \(\alpha_0 = 5^\circ = 5 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{36} \text{ rad}\).

a./ Tìm gia tốc của con lắc khi lực căng dây bằng trọng lực.

Chúng ta cần tìm gia tốc tổng hợp \(\vec{a}\) khi lực căng dây \(T\) bằng trọng lực \(P = mg\).
Lực căng dây của con lắc đơn tại li độ góc \(\alpha\) được cho bởi công thức:
\(T = mg\cos\alpha + \frac{mv^2}{l}\) (1)
Vận tốc \(v\) của con lắc tại li độ góc \(\alpha\) được xác định từ định luật bảo toàn năng lượng (chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng):
\(\frac{1}{2}mv^2 + mgl(1-\cos\alpha) = mgl(1-\cos\alpha_0)\)

Suy ra: \(v^2 = 2gl(\cos\alpha – \cos\alpha_0)\) (2)

Thay (2) vào (1), ta được:
\(T = mg\cos\alpha + \frac{m}{l} [2gl(\cos\alpha – \cos\alpha_0)]\)
\(T = mg\cos\alpha + 2mg(\cos\alpha – \cos\alpha_0)\)
\(T = mg(3\cos\alpha – 2\cos\alpha_0)\)

Theo đề bài, \(T = P = mg\).
Vậy: \(mg = mg(3\cos\alpha – 2\cos\alpha_0)\)
\(1 = 3\cos\alpha – 2\cos\alpha_0\)
\(3\cos\alpha = 1 + 2\cos\alpha_0\)

Vì \(\alpha_0 = 5^\circ\) là góc nhỏ, ta có thể dùng xấp xỉ \(\cos\alpha \approx 1 – \frac{\alpha^2}{2}\) và \(\cos\alpha_0 \approx 1 – \frac{\alpha_0^2}{2}\) (với \(\alpha\) và \(\alpha_0\) tính bằng radian).
\(3(1 – \frac{\alpha^2}{2}) = 1 + 2(1 – \frac{\alpha_0^2}{2})\)
\(3 – \frac{3\alpha^2}{2} = 1 + 2 – \alpha_0^2\)
\(3 – \frac{3\alpha^2}{2} = 3 – \alpha_0^2\)
\(\frac{3\alpha^2}{2} = \alpha_0^2\)
\(\alpha^2 = \frac{2}{3}\alpha_0^2\)
\(\alpha = \alpha_0\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Gia tốc của con lắc có hai thành phần: gia tốc tiếp tuyến (\(a_t\)) và gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm, \(a_n\)).
Gia tốc tiếp tuyến: \(a_t = -g\sin\alpha \approx -g\alpha\) (vì \(\alpha\) nhỏ)
Gia tốc pháp tuyến: \(a_n = \frac{v^2}{l}\)

Từ phương trình (2) và sử dụng xấp xỉ góc nhỏ:
\(v^2 = 2gl \left( (1 – \frac{\alpha^2}{2}) – (1 – \frac{\alpha_0^2}{2}) \right) = 2gl \left( \frac{\alpha_0^2 – \alpha^2}{2} \right) = gl(\alpha_0^2 – \alpha^2)\)
Thay \(\alpha^2 = \frac{2}{3}\alpha_0^2\) vào:
\(v^2 = gl(\alpha_0^2 – \frac{2}{3}\alpha_0^2) = gl(\frac{1}{3}\alpha_0^2)\)

Vậy:
\(a_t = -g\alpha = -g\alpha_0\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(a_n = \frac{v^2}{l} = \frac{gl(\frac{1}{3}\alpha_0^2)}{l} = \frac{1}{3}g\alpha_0^2\)

Gia tốc tổng hợp: \(a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}\)
\(a = \sqrt{(-g\alpha_0\sqrt{\frac{2}{3}})^2 + (\frac{1}{3}g\alpha_0^2)^2}\)
\(a = \sqrt{g^2\alpha_0^2 \cdot \frac{2}{3} + g^2\alpha_0^4 \cdot \frac{1}{9}}\)
\(a = g\alpha_0 \sqrt{\frac{2}{3} + \frac{1}{9}\alpha_0^2}\)

Thay số: \(g = 10 \text{ m/s}^2\), \(\alpha_0 = \frac{\pi}{36} \text{ rad}\)
\(a = 10 \cdot \frac{\pi}{36} \sqrt{\frac{2}{3} + \frac{1}{9} \left(\frac{\pi}{36}\right)^2}\)
\(a = \frac{10\pi}{36} \sqrt{\frac{2}{3} + \frac{\pi^2}{9 \cdot 1296}}\)
Vì \(g = \pi^2 = 10\), ta có \(\pi^2 \approx 9.8696\), nhưng đề bài cho \(\pi^2 = 10\), nên ta dùng giá trị này.
\(a = \frac{10\pi}{36} \sqrt{\frac{2}{3} + \frac{10}{11664}}\)
\(a \approx 0.87266 \sqrt{0.66667 + 0.000857}\)
\(a \approx 0.87266 \sqrt{0.667527}\)
\(a \approx 0.87266 \cdot 0.81702\)
\(a \approx 0.713 \text{ m/s}^2\)

b./ Tính quãng đường lớn nhất vật đi được trong thời gian \(\Delta t = 5,25s\).

Chu kì dao động của con lắc đơn: \(T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)
Vì \(g = \pi^2\), ta có \(T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} = 2s\).

Biên độ dao động của con lắc (biên độ dài): \(A_0 = l\alpha_0\)
\(A_0 = 1 \cdot \frac{\pi}{36} \text{ m} = \frac{\pi}{36} \text{ m}\)
\(A_0 \approx 0.08727 \text{ m} \approx 8.727 \text{ cm}\).

Thời gian \(\Delta t = 5,25s\).
Số chu kì con lắc thực hiện được: \(N = \frac{\Delta t}{T_0} = \frac{5.25s}{2s} = 2.625\) chu kì.
Quãng đường đi được trong 1 chu kì là \(4A_0\).
Quãng đường đi được trong 2 chu kì đầu tiên là: \(S_1 = 2 \cdot 4A_0 = 8A_0\).
Thời gian còn lại là: \(\Delta t’ = 0.625 T_0 = 0.625 \cdot 2s = 1.25s\).

Vì con lắc được “buông nhẹ” từ biên, nên tại \(t=0\), vật ở vị trí biên \(x = A_0\).
Sau \(2T_0 = 4s\), vật trở về vị trí biên \(x=A_0\) và vận tốc bằng 0.
Trong thời gian còn lại \(\Delta t’ = 1.25s\), vật sẽ dao động tiếp.

Phân tích quãng đường trong \(\Delta t’ = 1.25s\):

• Từ \(A_0\) đến vị trí cân bằng (0): Mất thời gian \(T_0/4 = 2s/4 = 0.5s\). Quãng đường là \(A_0\).
  (Thời điểm hiện tại: \(4s + 0.5s = 4.5s\))
• Từ vị trí cân bằng (0) đến biên âm (\(-A_0\)): Mất thời gian \(T_0/4 = 0.5s\). Quãng đường là \(A_0\).
  (Thời điểm hiện tại: \(4.5s + 0.5s = 5s\))

Thời gian còn lại: \(1.25s – 0.5s – 0.5s = 0.25s\).

Tại thời điểm \(t=5s\), vật đang ở vị trí biên âm (\(-A_0\)). Trong \(0.25s\) tiếp theo, vật sẽ chuyển động từ biên âm về phía vị trí cân bằng.
Góc quay trong \(0.25s\) này là \(\Delta\phi = \omega_0 \cdot 0.25s\).
Tần số góc của con lắc: \(\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}\).
Vậy \(\Delta\phi = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\).
Vật bắt đầu từ biên âm (\(-A_0\)) ở \(t=5s\). Phương trình dao động của con lắc là \(x(t) = A_0 \cos(\omega_0 t)\).
Tại \(t=5s\), \(x(5) = A_0 \cos(5\pi) = -A_0\).
Tại \(t=5.25s\), \(x(5.25) = A_0 \cos(5.25\pi) = A_0 \cos(5\pi + \frac{\pi}{4}) = -A_0 \cos(\frac{\pi}{4}) = -A_0 \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Quãng đường đi được trong \(0.25s\) cuối cùng là: \(S_2 = |-A_0 \frac{\sqrt{2}}{2} – (-A_0)| = A_0 (1 – \frac{\sqrt{2}}{2})\).

Tổng quãng đường vật đi được:
\(S = S_1 + A_0 + A_0 + S_2\)
\(S = 8A_0 + A_0 + A_0 + A_0 (1 – \frac{\sqrt{2}}{2})\)
\(S = (8 + 1 + 1 + 1 – \frac{\sqrt{2}}{2})A_0\)
\(S = (11 – \frac{\sqrt{2}}{2})A_0\)

Thay \(A_0 = \frac{\pi}{36} \text{ m}\) và \(\sqrt{2} \approx 1.4142\):
\(S = (11 – \frac{1.4142}{2}) \cdot \frac{\pi}{36}\)
\(S = (11 – 0.7071) \cdot \frac{\pi}{36}\)
\(S = 10.2929 \cdot \frac{\pi}{36}\)
\(S \approx 10.2929 \cdot 0.087266\)
\(S \approx 0.8981 \text{ m}\)

Lưu ý: “Quãng đường lớn nhất” ở đây có nghĩa là quãng đường thực tế vật đi được với điều kiện ban đầu cho trước. Nếu không có điều kiện “buông nhẹ”, quãng đường lớn nhất trong một khoảng thời gian nhất định sẽ được tính bằng cách chọn thời điểm bắt đầu sao cho vật đi qua vị trí cân bằng nhiều nhất.

c./ Khi con lắc có li độ góc \(\alpha\) thì người ta giữ một điểm trên dây treo, vật tiếp tục dao động điều hoà với chu kì và biên độ lần lượt là 1s và 4cm. Xác định giá trị của \(\alpha\).

Ban đầu con lắc có chiều dài \(l_1 = 1m\), chu kì \(T_1 = 2s\), biên độ góc \(\alpha_0 = \frac{\pi}{36} \text{ rad}\).
Khi giữ một điểm trên dây, chiều dài con lắc thay đổi, gọi là \(l_2\).
Con lắc mới có chu kì \(T_2 = 1s\).
Từ công thức chu kì con lắc đơn: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)
Ta có: \(\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}\)
\(\frac{1s}{2s} = \sqrt{\frac{l_2}{1m}}\)
\(\frac{1}{2} = \sqrt{l_2}\)
\(l_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ m}\).

Con lắc mới dao động với biên độ dài \(A_2 = 4\text{ cm} = 0.04 \text{ m}\).
Biên độ góc của con lắc mới: \(\alpha_{0,new} = \frac{A_2}{l_2} = \frac{0.04m}{0.25m} = \frac{4}{25} \text{ rad}\).

Khi giữ một điểm trên dây, vị trí của vật không thay đổi (li độ góc vẫn là \(\alpha\)), vận tốc của vật cũng không thay đổi ngay lập tức.
Gọi \(v\) là vận tốc của vật tại li độ góc \(\alpha\) (ngay trước và sau khi giữ dây).
Đối với con lắc ban đầu (chiều dài \(l_1\), biên độ góc \(\alpha_0\)):
Vận tốc tại li độ góc \(\alpha\) là: \(v^2 = 2gl_1(\cos\alpha – \cos\alpha_0)\).
Sử dụng xấp xỉ góc nhỏ: \(v^2 = 2gl_1 \left( (1 – \frac{\alpha^2}{2}) – (1 – \frac{\alpha_0^2}{2}) \right) = gl_1(\alpha_0^2 – \alpha^2)\) (3)

Đối với con lắc mới (chiều dài \(l_2\), biên độ góc \(\alpha_{0,new}\)):
Vận tốc tại li độ góc \(\alpha\) (là li độ tức thời của con lắc mới) là: \(v^2 = 2gl_2(\cos\alpha – \cos\alpha_{0,new})\).
Sử dụng xấp xỉ góc nhỏ: \(v^2 = 2gl_2 \left( (1 – \frac{\alpha^2}{2}) – (1 – \frac{\alpha_{0,new}^2}{2}) \right) = gl_2(\alpha_{0,new}^2 – \alpha^2)\) (4)

Vì vận tốc không đổi khi giữ dây, ta cân bằng (3) và (4):
\(gl_1(\alpha_0^2 – \alpha^2) = gl_2(\alpha_{0,new}^2 – \alpha^2)\)
\(l_1(\alpha_0^2 – \alpha^2) = l_2(\alpha_{0,new}^2 – \alpha^2)\)

Thay các giá trị đã biết:
\(l_1 = 1m\)
\(l_2 = 0.25m\)
\(\alpha_0 = \frac{\pi}{36} \text{ rad}\)
\(\alpha_{0,new} = \frac{4}{25} \text{ rad}\)

\(1 \cdot \left( \left(\frac{\pi}{36}\right)^2 – \alpha^2 \right) = 0.25 \cdot \left( \left(\frac{4}{25}\right)^2 – \alpha^2 \right)\)
\(\frac{\pi^2}{36^2} – \alpha^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{625} – \alpha^2 \right)\)

Với \(g = \pi^2 = 10 \text{ m/s}^2\), ta có \(\pi^2 \approx 10\).
\(\frac{10}{1296} – \alpha^2 = \frac{16}{4 \cdot 625} – \frac{1}{4}\alpha^2\)
\(\frac{10}{1296} – \alpha^2 = \frac{4}{625} – \frac{1}{4}\alpha^2\)

Chuyển các số hạng chứa \(\alpha^2\) về một vế, các hằng số về vế còn lại:
\(\alpha^2 – \frac{1}{4}\alpha^2 = \frac{10}{1296} – \frac{4}{625}\)
\(\frac{3}{4}\alpha^2 = \frac{10}{1296} – \frac{4}{625}\)
\(\frac{3}{4}\alpha^2 \approx 0.0077160 – 0.0064000\)
\(\frac{3}{4}\alpha^2 \approx 0.0013160\)
\(\alpha^2 = \frac{4}{3} \cdot 0.0013160\)
\(\alpha^2 \approx 0.00175467\)
\(\alpha = \sqrt{0.00175467} \approx 0.04188 \text{ rad}\)

Chuyển đổi sang độ:
\(\alpha = 0.04188 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 2.40^\circ\)

—

Chúc các em học tốt!