Bài toán: Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc có bước sóng \( \lambda = 0,6 \text{ µm} \). Khoảng cách giữa hai khe là \( a = 1 \text{ mm} \), khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là \( D = 1,5 \text{ m} \). Bề rộng miền giao thoa là \( L = 1,5 \text{ cm} \). Tổng số vân sáng và vân tối có trong miền giao thoa là bao nhiêu?

Phân tích bài toán:

Đây là một bài toán về giao thoa ánh sáng, cụ thể là thí nghiệm Young. Chúng ta cần tìm số vân sáng và vân tối trong một miền giao thoa nhất định. Để làm được điều này, chúng ta cần xác định vị trí của các vân sáng và vân tối.

Các kiến thức cần nhớ:

1. Khoảng vân (i): Là khoảng cách giữa hai vân sáng liên tiếp hoặc hai vân tối liên tiếp.
Công thức tính khoảng vân: \( i = \frac{\lambda D}{a} \)

2. Vị trí vân sáng: Các vân sáng có vị trí được xác định bởi:
\( x_s = k \cdot i \)
trong đó \( k \) là số nguyên \( (k = 0, \pm 1, \pm 2, … ) \).
* Khi \( k = 0 \), ta có vân sáng trung tâm.

3. Vị trí vân tối: Các vân tối có vị trí được xác định bởi:
\( x_t = (k + \frac{1}{2}) \cdot i \)
trong đó \( k \) là số nguyên \( (k = 0, \pm 1, \pm 2, … ) \).

4. Miền giao thoa: Bài toán cho biết bề rộng miền giao thoa là \( L = 1,5 \text{ cm} \). Giả sử miền giao thoa này đối xứng qua vân sáng trung tâm. Khi đó, khoảng cách từ vân sáng trung tâm đến mép của miền giao thoa là \( \frac{L}{2} \).

Các bước giải:

Bước 1: Đổi đơn vị các đại lượng về cùng đơn vị mét.

* Bước sóng: \( \lambda = 0,6 \text{ µm} = 0,6 \times 10^{-6} \text{ m} \)
* Khoảng cách giữa hai khe: \( a = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m} \)
* Khoảng cách từ hai khe đến màn: \( D = 1,5 \text{ m} \)
* Bề rộng miền giao thoa: \( L = 1,5 \text{ cm} = 1,5 \times 10^{-2} \text{ m} \)

Bước 2: Tính khoảng vân (i).

Áp dụng công thức: \( i = \frac{\lambda D}{a} \)
\( i = \frac{(0,6 \times 10^{-6} \text{ m}) \times (1,5 \text{ m})}{1 \times 10^{-3} \text{ m}} \)
\( i = 0,9 \times 10^{-3} \text{ m} = 0,9 \text{ mm} \)

Bước 3: Xác định vị trí của miền giao thoa.

Giả sử miền giao thoa có bề rộng \( L = 1,5 \text{ cm} \) là đối xứng qua vân sáng trung tâm (vân bậc 0).
Khi đó, miền giao thoa trải dài từ \( x = -\frac{L}{2} \) đến \( x = +\frac{L}{2} \).
\( \frac{L}{2} = \frac{1,5 \text{ cm}}{2} = 0,75 \text{ cm} = 0,75 \times 10^{-2} \text{ m} = 7,5 \text{ mm} \)
Vậy miền giao thoa nằm trong khoảng \( [-7,5 \text{ mm}, +7,5 \text{ mm}] \).

Bước 4: Tìm số vân sáng trong miền giao thoa.

Vị trí của vân sáng là \( x_s = k \cdot i \).
Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên \( k \) sao cho:
\( -7,5 \text{ mm} \le k \cdot i \le +7,5 \text{ mm} \)
\( -7,5 \text{ mm} \le k \cdot (0,9 \text{ mm}) \le +7,5 \text{ mm} \)
Chia cả ba vế cho \( 0,9 \text{ mm} \) (là một số dương nên chiều bất đẳng thức không đổi):
\( \frac{-7,5}{0,9} \le k \le \frac{7,5}{0,9} \)
\( -8,33… \le k \le 8,33… \)
Vì \( k \) là số nguyên, nên các giá trị của \( k \) là: \( -8, -7, …, 0, …, 7, 8 \).
Để đếm số lượng các giá trị nguyên này, ta dùng công thức: Số lượng = (Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất) + 1.
Số vân sáng = \( 8 – (-8) + 1 = 8 + 8 + 1 = 17 \) vân sáng.

Bước 5: Tìm số vân tối trong miền giao thoa.

Vị trí của vân tối là \( x_t = (k + \frac{1}{2}) \cdot i \).
Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên \( k \) sao cho:
\( -7,5 \text{ mm} \le (k + \frac{1}{2}) \cdot i \le +7,5 \text{ mm} \)
\( -7,5 \text{ mm} \le (k + \frac{1}{2}) \cdot (0,9 \text{ mm}) \le +7,5 \text{ mm} \)
Chia cả ba vế cho \( 0,9 \text{ mm} \):
\( \frac{-7,5}{0,9} \le k + \frac{1}{2} \le \frac{7,5}{0,9} \)
\( -8,33… \le k + 0,5 \le 8,33… \)
Trừ \( 0,5 \) ở cả ba vế:
\( -8,33… – 0,5 \le k \le 8,33… – 0,5 \)
\( -8,83… \le k \le 7,83… \)
Vì \( k \) là số nguyên, nên các giá trị của \( k \) là: \( -8, -7, …, 0, …, 6, 7 \).
Số vân tối = \( 7 – (-8) + 1 = 7 + 8 + 1 = 16 \) vân tối.

Bước 6: Tính tổng số vân sáng và vân tối.

Tổng số vân sáng và vân tối = Số vân sáng + Số vân tối
Tổng số vân = \( 17 + 16 = 33 \) vân.

Lưu ý thêm:

Trong trường hợp miền giao thoa không đối xứng hoặc có kích thước khác, cách tính sẽ thay đổi một chút ở Bước 3 và Bước 4, Bước 5. Tuy nhiên, với bài toán này, giả định đối xứng là hợp lý nhất.
Một cách khác để kiểm tra số vân tối: Nếu có N vân sáng, và vân sáng trung tâm có \( k=0 \) thì số vân sáng là \( 2m+1 \). Số vân tối thường ít hơn số vân sáng 1 đơn vị nếu miền giao thoa bắt đầu và kết thúc bằng vân sáng hoặc kết thúc và bắt đầu bằng vân tối. Ở đây, miền giao thoa của chúng ta đối xứng qua vân sáng trung tâm, nên nó bắt đầu và kết thúc cách đều vân sáng trung tâm.
Số vân sáng là \( 17 \). Vị trí của các vân sáng này là từ \( k = -8 \) đến \( k = 8 \).
Số vân tối là \( 16 \). Vị trí của các vân tối này là từ \( k = -8 \) đến \( k = 7 \).

Kết luận:

Tổng số vân sáng và vân tối có trong miền giao thoa là 33 vân.

Hy vọng qua bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xác định số vân giao thoa trong thí nghiệm Young. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé.