Chúng ta hãy bắt đầu với câu thứ nhất:

Câu 1. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 100N/m, vật nhỏ khối lượng m = 100g đang dao động điều hòa. Lấy \({\pi}^{2} = 10\). Tần số dao động của con lắc lò xo bằng bao nhiêu?

Phân tích đề bài và tóm tắt:

Bài toán cho chúng ta biết các thông số của một con lắc lò xo và yêu cầu tìm tần số dao động của nó.

• Độ cứng của lò xo: \(k = 100 \text{ N/m}\)
• Khối lượng vật nhỏ: \(m = 100 \text{ g}\)
• Lấy: \({\pi}^{2} = 10\)
• Yêu cầu tìm: Tần số dao động \(f\)

Phương pháp giải:

Để tìm tần số dao động \(f\) của con lắc lò xo, chúng ta cần nhớ công thức liên hệ giữa tần số góc \(\omega\), độ cứng \(k\) và khối lượng \(m\), cũng như công thức liên hệ giữa tần số góc \(\omega\) và tần số \(f\).

Bước 1: Đổi đơn vị khối lượng về hệ SI.

Khối lượng \(m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}\).

Bước 2: Tính tần số góc \(\omega\).

Tần số góc của con lắc lò xo được xác định bởi công thức:

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Thay số vào, ta có:

\(\omega = \sqrt{\frac{100}{0.1}} = \sqrt{1000} \text{ (rad/s)}\)

Vì đề bài cho \({\pi}^{2} = 10\), nên ta có \(\sqrt{10} = \pi\). Do đó:

\(\omega = \sqrt{100 \times 10} = 10\sqrt{10} = 10\pi \text{ (rad/s)}\)

Bước 3: Tính tần số dao động \(f\).

Mối liên hệ giữa tần số góc \(\omega\) và tần số \(f\) là:

\(\omega = 2\pi f\)

Từ đó, ta suy ra:

\(f = \frac{\omega}{2\pi}\)

Thay giá trị \(\omega\) vừa tìm được vào, ta có:

\(f = \frac{10\pi}{2\pi} = 5 \text{ (Hz)}\)

Kết luận:

Vậy, tần số dao động của con lắc lò xo là \(5 \text{ Hz}\).

—

Bây giờ chúng ta cùng chuyển sang câu thứ hai, một bài toán liên quan đến các đại lượng trong dao động điều hòa.

Câu 2. Một vật dao động điều hòa khi đi qua vị trí x = 3cm thì có tốc độ 8πcm/s; khi vật qua vị trí x = – 4cm thì vật có tốc độ 6πcm/s. Tính chu kì dao động của vật.

Phân tích đề bài và tóm tắt:

Bài toán cho chúng ta hai cặp giá trị vị trí và tốc độ của vật dao động điều hòa, và yêu cầu tính chu kì dao động.

• Trường hợp 1: \(x_1 = 3 \text{ cm}\), \(v_1 = 8\pi \text{ cm/s}\)
• Trường hợp 2: \(x_2 = -4 \text{ cm}\), \(v_2 = 6\pi \text{ cm/s}\)
• Yêu cầu tìm: Chu kì dao động \(T\)

Phương pháp giải:

Đối với dao động điều hòa, chúng ta có công thức độc lập với thời gian liên hệ giữa biên độ \(A\), vị trí \(x\), vận tốc \(v\) và tần số góc \(\omega\):

\(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\)

Chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho cả hai trường hợp đã cho để lập hệ phương trình, từ đó tìm ra \(\omega\), rồi suy ra chu kì \(T\).

Bước 1: Áp dụng công thức độc lập thời gian cho trường hợp 1.

Với \(x_1 = 3 \text{ cm}\) và \(v_1 = 8\pi \text{ cm/s}\), ta có:

\(A^2 = x_1^2 + \frac{v_1^2}{\omega^2}\)

\(A^2 = (3)^2 + \frac{(8\pi)^2}{\omega^2}\)

\(A^2 = 9 + \frac{64\pi^2}{\omega^2}\) (Phương trình 1)

Bước 2: Áp dụng công thức độc lập thời gian cho trường hợp 2.

Với \(x_2 = -4 \text{ cm}\) và \(v_2 = 6\pi \text{ cm/s}\), ta có:

\(A^2 = x_2^2 + \frac{v_2^2}{\omega^2}\)

\(A^2 = (-4)^2 + \frac{(6\pi)^2}{\omega^2}\)

\(A^2 = 16 + \frac{36\pi^2}{\omega^2}\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm \(\omega\).

Vì cả hai phương trình đều bằng \(A^2\), ta có thể cho chúng bằng nhau:

\(9 + \frac{64\pi^2}{\omega^2} = 16 + \frac{36\pi^2}{\omega^2}\)

Chuyển các số hạng chứa \(\omega^2\) về một vế và các số hạng tự do về vế còn lại:

\(\frac{64\pi^2}{\omega^2} – \frac{36\pi^2}{\omega^2} = 16 – 9\)

\(\frac{(64 – 36)\pi^2}{\omega^2} = 7\)

\(\frac{28\pi^2}{\omega^2} = 7\)

Từ đó, ta tìm \(\omega^2\):

\(\omega^2 = \frac{28\pi^2}{7}\)

\(\omega^2 = 4\pi^2\)

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được tần số góc \(\omega\):

\(\omega = \sqrt{4\pi^2} = 2\pi \text{ (rad/s)}\)

Bước 4: Tính chu kì dao động \(T\).

Mối liên hệ giữa chu kì \(T\) và tần số góc \(\omega\) là:

\(T = \frac{2\pi}{\omega}\)

Thay giá trị \(\omega\) vừa tìm được vào, ta có:

\(T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ (s)}\)

Kết luận:

Vậy, chu kì dao động của vật là \(1 \text{ s}\).

Hy vọng qua hai bài tập này, các em đã ôn lại và nắm vững hơn các kiến thức cơ bản về dao động điều hòa. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các dạng bài này nhé!