Đề bài: Một bình kín có van điều áp chứa 1 mol khí nitơ ở áp suất \(10^5 \, \text{N/m}^2\) ở \(27^\circ\text{c}\). Nung bình đến khi áp suất khí là \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\), khi đó van điều áp mở ra một lượng khí thoát ra ngoài, nhiệt độ vẫn giữ không đổi khi khí thoát. Sau đó áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\). Lượng khí thoát ra là bao nhiêu kg?

Phân tích bài toán:

Bài toán này có thể chia làm 3 giai đoạn chính:

1. Giai đoạn 1: Khí nitơ trong bình kín, chưa có khí thoát ra. Áp suất tăng do nhiệt độ tăng.
2. Giai đoạn 2: Van điều áp mở, khí thoát ra ngoài. Nhiệt độ không đổi. Áp suất giảm từ \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) xuống \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\).
3. Giai đoạn 3: Quá trình sau khi van đóng lại (hoặc quá trình tính toán lượng khí thoát ra dựa trên sự thay đổi áp suất ở nhiệt độ không đổi).

Giải bài toán chi tiết:

1. Xác định các thông số ban đầu và các quá trình:

Gọi \(p_1, V_1, T_1, n_1\) lần lượt là áp suất, thể tích, nhiệt độ và số mol khí nitơ ở trạng thái ban đầu.

Ta có:

• Số mol khí ban đầu: \(n_1 = 1 \, \text{mol}\)
• Áp suất ban đầu: \(p_1 = 10^5 \, \text{N/m}^2\)
• Nhiệt độ ban đầu: \(T_1 = 27^\circ\text{c} = 27 + 273 = 300 \, \text{K}\)

2. Xác định thể tích của bình:

Vì bình kín có van điều áp, thể tích của bình là không đổi. Ta có thể sử dụng định luật khí lý tưởng cho trạng thái ban đầu để tìm thể tích \(V_1\) (chính là thể tích của bình).

Định luật khí lý tưởng: \(pV = nRT\)

Trong đó, R là hằng số khí lý tưởng, \(R \approx 8.314 \, \text{J/(mol.K)}\).

Ta có: \(p_1 V = n_1 R T_1\)

Suy ra: \(V = \frac{n_1 R T_1}{p_1} = \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol.K)} \times 300 \, \text{K}}{10^5 \, \text{N/m}^2}\)

\(V = \frac{2494.2}{10^5} \, \text{m}^3 = 2.4942 \times 10^{-2} \, \text{m}^3\)

Vậy, thể tích của bình là \(V = 2.4942 \times 10^{-2} \, \text{m}^3\).

3. Xem xét quá trình nung nóng và van mở:

Bình được nung nóng đến khi áp suất đạt \(p_2 = 5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\). Tại điểm này, van điều áp mở ra, cho phép khí thoát ra ngoài.

Lưu ý quan trọng: Van điều áp mở ra khi áp suất bên trong bình đạt một giá trị nhất định (ở đây là \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)) và giữ cho áp suất ở mức đó cho đến khi có một lượng khí thoát ra. Tuy nhiên, đề bài cho biết “Nung bình đến khi áp suất khí là \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\), khi đó van điều áp mở ra một lượng khí thoát ra ngoài, nhiệt độ vẫn giữ không đổi khi khí thoát. Sau đó áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\).”

Điều này có nghĩa là quá trình nung nóng lên \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) xảy ra trước. Sau đó, khi áp suất đạt tới \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\), van bắt đầu mở. Quá trình thoát khí diễn ra tại nhiệt độ không đổi và làm giảm áp suất từ \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) xuống \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\).

4. Tính toán lượng khí thoát ra:

Ta xét quá trình khí thoát ra ngoài. Trong quá trình này, nhiệt độ không đổi (\(T = \text{hằng số}\)) và thể tích của bình không đổi (\(V = \text{hằng số}\)).

Gọi trạng thái ngay trước khi khí bắt đầu thoát ra là trạng thái 2, và trạng thái sau khi khí thoát ra và áp suất giảm còn \(4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\) là trạng thái 3.

Trạng thái 2 (ngay trước khi khí thoát ra):

• Áp suất: \(p_2 = 5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)
• Thể tích: \(V = 2.4942 \times 10^{-2} \, \text{m}^3\)
• Nhiệt độ: Nhiệt độ lúc này có thể đã tăng lên do quá trình nung nóng. Tuy nhiên, khi khí thoát ra, nhiệt độ được giữ không đổi. Ta cần xác định nhiệt độ tại thời điểm van mở và khí bắt đầu thoát ra.

Ta biết rằng bình được nung nóng đến khi áp suất là \(5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\). Sử dụng định luật khí lý tưởng cho quá trình này (số mol khí vẫn là \(n_1=1\) mol, thể tích không đổi):

\( \frac{p_2}{T_2} = \frac{p_1}{T_1} \)

\( T_2 = T_1 \times \frac{p_2}{p_1} = 300 \, \text{K} \times \frac{5 \times 10^5 \, \text{N/m}^2}{10^5 \, \text{N/m}^2} = 300 \, \text{K} \times 5 = 1500 \, \text{K} \)

Vậy, nhiệt độ khi van mở ra là \(T_2 = 1500 \, \text{K}\).

Khi khí thoát ra, nhiệt độ vẫn giữ không đổi. Như vậy, nhiệt độ trong quá trình khí thoát ra là \(T = T_2 = 1500 \, \text{K}\).

Trạng thái 3 (sau khi khí thoát ra):

• Áp suất: \(p_3 = 4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2\)
• Thể tích: \(V = 2.4942 \times 10^{-2} \, \text{m}^3\)
• Nhiệt độ: \(T = 1500 \, \text{K}\)

Bây giờ ta tính số mol khí còn lại trong bình ở trạng thái 3:

\(p_3 V = n_3 R T\)

\(n_3 = \frac{p_3 V}{R T} = \frac{4 \times 10^5 \, \text{N/m}^2 \times 2.4942 \times 10^{-2} \, \text{m}^3}{8.314 \, \text{J/(mol.K)} \times 1500 \, \text{K}}\)

\(n_3 = \frac{9976.8}{12471} \, \text{mol} \approx 0.8 \, \text{mol}\)

Số mol khí ban đầu là \(n_1 = 1 \, \text{mol}\).

Số mol khí còn lại trong bình là \(n_3 = 0.8 \, \text{mol}\).

Số mol khí đã thoát ra là:

\(\Delta n = n_1 – n_3 = 1 \, \text{mol} – 0.8 \, \text{mol} = 0.2 \, \text{mol}\)

5. Đổi số mol khí thoát ra sang khối lượng:

Khí trong bình là khí nitơ (\(\text{N}_2\)). Khối lượng mol của nitơ là \(M_{\text{N}_2} = 2 \times M_{\text{N}} = 2 \times 14 \, \text{g/mol} = 28 \, \text{g/mol} = 0.028 \, \text{kg/mol}\).

Khối lượng khí thoát ra là:

\(m_{\text{thoát}} = \Delta n \times M_{\text{N}_2}\)

\(m_{\text{thoát}} = 0.2 \, \text{mol} \times 0.028 \, \text{kg/mol}\)

\(m_{\text{thoát}} = 0.0056 \, \text{kg}\)

Kết luận:

Lượng khí nitơ thoát ra ngoài là 0.0056 kg.

Các em đã thấy, việc áp dụng đúng các định luật về khí lý tưởng và phân tích kỹ lưỡng các giai đoạn của bài toán là rất quan trọng. Nếu có thắc mắc gì, các em có thể đặt câu hỏi nhé!