Bài toán:

Mặt phẳng AB nghiêng một góc \(30°\) so với mặt phẳng ngang BC. Biết AB = 1 m, BC = 10,35 m, hệ số ma sát trên mặt phẳng nghiêng \(\mu_1=0,1\). Lấy \(g=10m/s^{2}\). Một vật khối lượng \(m= 1 kg\) trượt không có vận tốc ban đầu từ đỉnh A tới C thì dừng lại.

Yêu cầu:

a. Tính gia tốc của vật khi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.

b. Tính vận tốc của vật tại B và hệ số ma sát \(\mu_2\) trên mặt phẳng ngang.

Lời giải:

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai giai đoạn chuyển động của vật: trượt trên mặt phẳng nghiêng AB và trượt trên mặt phẳng ngang BC.

Ở giai đoạn 1 (trên mặt phẳng nghiêng AB): Vật bắt đầu trượt từ trạng thái nghỉ, chịu tác dụng của trọng lực, phản lực, lực ma sát. Vật chuyển động có gia tốc.

Ở giai đoạn 2 (trên mặt phẳng ngang BC): Vật tiếp tục trượt, chịu tác dụng của trọng lực, phản lực, lực ma sát. Vật chuyển động chậm dần đều cho đến khi dừng lại.

a. Tính gia tốc của vật khi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.

Chúng ta sẽ xét các lực tác dụng lên vật khi vật trượt trên mặt phẳng nghiêng AB.

Chọn hệ quy chiếu:

– Gốc tọa độ tại A.

– Trục Ox hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng, từ A xuống B.

– Trục Oy vuông góc với mặt phẳng nghiêng, hướng lên.

Các lực tác dụng lên vật:

– Trọng lực: \(\vec{P}\) có độ lớn \(P = mg\).

– Phản lực: \(\vec{N_1}\) vuông góc với mặt phẳng nghiêng.

– Lực ma sát động: \(\vec{f}_{ms1}\) ngược chiều chuyển động, song song với mặt phẳng nghiêng.

Phân tích trọng lực thành hai thành phần:

– Thành phần song song với mặt phẳng nghiêng: \(P_x = P \sin(\alpha) = mg \sin(\alpha)\), hướng xuống.

– Thành phần vuông góc với mặt phẳng nghiêng: \(P_y = P \cos(\alpha) = mg \cos(\alpha)\), hướng xuống.

Áp dụng định luật II Newton cho vật trên mặt phẳng nghiêng:

\(\vec{P} + \vec{N_1} + \vec{f}_{ms1} = m\vec{a}_1\)

Chiếu lên trục Ox:

\(P_x – f_{ms1} = ma_1\)

\(mg \sin(\alpha) – \mu_1 N_1 = ma_1\) (1)

Chiếu lên trục Oy:

\(N_1 – P_y = 0\) (vì vật không chuyển động theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng)

\(N_1 – mg \cos(\alpha) = 0\)

\(N_1 = mg \cos(\alpha)\) (2)

Thay (2) vào (1):

\(mg \sin(\alpha) – \mu_1 mg \cos(\alpha) = ma_1\)

Chia cả hai vế cho \(m\):

\(a_1 = g \sin(\alpha) – \mu_1 g \cos(\alpha)\)

Thay số:

\(\alpha = 30°\), \(g = 10 m/s^2\), \(\mu_1 = 0,1\)

\(\sin(30°) = 0,5\)

\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\)

\(a_1 = 10 \times 0,5 – 0,1 \times 10 \times 0,866\)

\(a_1 = 5 – 0,866\)

\(a_1 = 4,134 m/s^2\)

Vậy, gia tốc của vật khi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng là \(a_1 = 4,134 m/s^2\).

b. Tính vận tốc của vật tại B và hệ số ma sát \(\mu_2\) trên mặt phẳng ngang.

Tính vận tốc của vật tại B:

Chúng ta có thể sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường cho chuyển động thẳng biến đổi đều:

\(v_B^2 – v_A^2 = 2 a_1 s_{AB}\)

Trong đó:

\(v_A = 0\) (vật trượt không có vận tốc ban đầu).

\(s_{AB} = 1 m\).

\(a_1 = 4,134 m/s^2\).

Thay số:

\(v_B^2 – 0^2 = 2 \times 4,134 \times 1\)

\(v_B^2 = 8,268\)

\(v_B = \sqrt{8,268} \approx 2,875 m/s\)

Vậy, vận tốc của vật tại B là khoảng \(2,875 m/s\).

Tính hệ số ma sát \(\mu_2\) trên mặt phẳng ngang:

Trên mặt phẳng ngang BC, vật chuyển động với vận tốc ban đầu là \(v_B\) và dừng lại tại C, tức là vận tốc cuối cùng \(v_C = 0\).

Chúng ta có thể sử dụng định lý biến thiên động năng hoặc áp dụng định luật II Newton cho chuyển động trên mặt phẳng ngang.

Cách 1: Sử dụng định lý biến thiên động năng.

Độ biến thiên động năng bằng tổng công của các lực tác dụng lên vật.

\(W_{đc} – W_{đt} = A_P + A_{N_2} + A_{f_{ms2}}\)

Ta có:

\(W_{đc} = \frac{1}{2} m v_C^2 = 0\) (vì \(v_C = 0\)).

\(W_{đt} = \frac{1}{2} m v_B^2\).

\(A_P = 0\) (công của trọng lực bằng 0 vì trọng lực vuông góc với phương chuyển động).

\(A_{N_2} = 0\) (công của phản lực bằng 0 vì phản lực vuông góc với phương chuyển động).

\(A_{f_{ms2}}\) là công của lực ma sát trên mặt phẳng ngang. Lực ma sát có độ lớn \(f_{ms2} = \mu_2 N_2\). Trên mặt phẳng ngang, \(N_2 = P = mg\). Vậy \(f_{ms2} = \mu_2 mg\). Lực ma sát này ngược chiều chuyển động nên \(A_{f_{ms2}} = -f_{ms2} s_{BC} = -\mu_2 mg s_{BC}\).

Áp dụng định lý biến thiên động năng:

\(0 – \frac{1}{2} m v_B^2 = -\mu_2 mg s_{BC}\)

\(\frac{1}{2} m v_B^2 = \mu_2 mg s_{BC}\)

Chia cả hai vế cho \(mg\):

\(\mu_2 = \frac{v_B^2}{2 g s_{BC}}\)

Thay số:

\(v_B^2 \approx 8,268\)

\(g = 10 m/s^2\)

\(s_{BC} = 10,35 m\)

\(\mu_2 = \frac{8,268}{2 \times 10 \times 10,35}\)

\(\mu_2 = \frac{8,268}{207}\)

\(\mu_2 \approx 0,04\)

Cách 2: Sử dụng định luật II Newton.

Trên mặt phẳng ngang, các lực tác dụng lên vật là trọng lực \(\vec{P}\), phản lực \(\vec{N_2}\) và lực ma sát \(\vec{f}_{ms2}\).

Chọn hệ quy chiếu:

– Gốc tọa độ tại B.

– Trục Ox song song với mặt phẳng ngang, hướng từ B tới C.

– Trục Oy vuông góc với mặt phẳng ngang, hướng lên.

Áp dụng định luật II Newton:

\(\vec{P} + \vec{N_2} + \vec{f}_{ms2} = m\vec{a}_2\)

Chiếu lên trục Oy:

\(N_2 – P = 0 \Rightarrow N_2 = mg\)

Chiếu lên trục Ox:

\(-f_{ms2} = ma_2\)

\(-\mu_2 N_2 = ma_2\)

\(-\mu_2 mg = ma_2\)

\(a_2 = -\mu_2 g\) (dấu trừ cho thấy chuyển động chậm dần).

Sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường:

\(v_C^2 – v_B^2 = 2 a_2 s_{BC}\)

\(0^2 – v_B^2 = 2 (-\mu_2 g) s_{BC}\)

\(-v_B^2 = -2 \mu_2 g s_{BC}\)

\(v_B^2 = 2 \mu_2 g s_{BC}\)

\(\mu_2 = \frac{v_B^2}{2 g s_{BC}}\)

Kết quả tương tự như cách 1.

Vậy, hệ số ma sát trên mặt phẳng ngang là \(\mu_2 \approx 0,04\).

Tổng kết:

a. Gia tốc của vật khi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng là \(a_1 \approx 4,134 m/s^2\).

b. Vận tốc của vật tại B là \(v_B \approx 2,875 m/s\). Hệ số ma sát trên mặt phẳng ngang là \(\mu_2 \approx 0,04\).

Các em có câu hỏi nào về bài tập này không?