Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán thú vị về chuyển động, đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic và chia nhỏ vấn đề một cách khéo léo. Hãy cùng phân tích từng phần một nhé!

TÓM TẮT ĐỀ BÀI VÀ PHÂN TÍCH BAN ĐẦU:

Vật xuất phát từ A.

Quy luật chuyển động:

– Giai đoạn 1: Chuyển động về phía B trong \(t_1 = 10 \text{ s}\) với vận tốc \(V_1 = 10 \text{ cm/s}\).
– Giai đoạn 2: Chuyển động lùi về phía A trong \(t_2 = 5 \text{ s}\) với vận tốc \(V_2 = 4 \text{ cm/s}\).

Quá trình này lặp lại liên tục.

Đầu tiên, chúng ta hãy tính toán quãng đường và thời gian trong MỘT CHU KỲ chuyển động lặp lại này.

Một chu kỳ bao gồm một lần đi tới và một lần đi lùi.

– Thời gian của một chu kỳ:

\(T_{chu kỳ} = t_1 + t_2 = 10 \text{ s} + 5 \text{ s} = 15 \text{ s}\)

– Độ dịch chuyển trong giai đoạn đi tới:

\(s_1 = V_1 \times t_1 = 10 \text{ cm/s} \times 10 \text{ s} = 100 \text{ cm}\)

– Độ dịch chuyển trong giai đoạn đi lùi (chú ý chiều):

\(s_2 = -V_2 \times t_2 = -4 \text{ cm/s} \times 5 \text{ s} = -20 \text{ cm}\) (chúng ta quy ước chiều dương là chiều từ A đến B)

– Độ dịch chuyển tịnh tiến (net displacement) sau MỘT CHU KỲ:

\(\Delta x_{chu kỳ} = s_1 + s_2 = 100 \text{ cm} – 20 \text{ cm} = 80 \text{ cm}\)

Như vậy, sau mỗi 15 giây, vật tiến xa hơn vị trí xuất phát 80 cm.

—

a, Sau 43 giây, vật cách vị trí xuất phát một khoảng bằng bao nhiêu?

Chúng ta có tổng thời gian là \(T = 43 \text{ s}\).

Số chu kỳ hoàn chỉnh mà vật đã thực hiện:

\(N = \lfloor \frac{T}{T_{chu kỳ}} \rfloor = \lfloor \frac{43 \text{ s}}{15 \text{ s}} \rfloor = \lfloor 2.86… \rfloor = 2\) chu kỳ.

Thời gian còn lại sau khi hoàn thành 2 chu kỳ:

\(T_{còn lại} = T – N \times T_{chu kỳ} = 43 \text{ s} – 2 \times 15 \text{ s} = 43 \text{ s} – 30 \text{ s} = 13 \text{ s}\).

Bây giờ, chúng ta tính độ dịch chuyển sau 2 chu kỳ hoàn chỉnh và sau 13 giây còn lại.

– Độ dịch chuyển sau 2 chu kỳ:

\(x_{2 chu kỳ} = N \times \Delta x_{chu kỳ} = 2 \times 80 \text{ cm} = 160 \text{ cm}\).

– Độ dịch chuyển trong 13 giây còn lại:

Quá trình chuyển động bắt đầu lại từ đầu.

Trong 13 giây này, vật sẽ đi về phía B trong 10 giây đầu tiên (vì \(13 \text{ s} > 10 \text{ s}\)).

Độ dịch chuyển trong 10 giây đầu của thời gian còn lại:

\(s_{còn lại, 1} = V_1 \times 10 \text{ s} = 10 \text{ cm/s} \times 10 \text{ s} = 100 \text{ cm}\).

Thời gian còn lại sau khi đi 10 giây: \(13 \text{ s} – 10 \text{ s} = 3 \text{ s}\).

Trong 3 giây này, vật sẽ bắt đầu chuyển động lùi về phía A với vận tốc \(V_2\).

Độ dịch chuyển trong 3 giây cuối cùng (đi lùi):

\(s_{còn lại, 2} = -V_2 \times 3 \text{ s} = -4 \text{ cm/s} \times 3 \text{ s} = -12 \text{ cm}\).

– Tổng độ dịch chuyển sau 43 giây:

\(x_{tổng} = x_{2 chu kỳ} + s_{còn lại, 1} + s_{còn lại, 2} = 160 \text{ cm} + 100 \text{ cm} – 12 \text{ cm} = 248 \text{ cm}\).

Vậy, sau 43 giây, vật cách vị trí xuất phát một khoảng \(248 \text{ cm}\) hay \(2.48 \text{ m}\).

—

b, Sau thời gian bao lâu kể từ thời điểm bắt đầu chuyển động vật cách điểm xuất phát 500m?

Chúng ta cần tìm thời điểm vật cách điểm xuất phát \(500 \text{ m}\), tức là \(50000 \text{ cm}\).

Gọi \(X_{mục tiêu} = 50000 \text{ cm}\).

Chúng ta biết rằng sau mỗi chu kỳ (15 s), vật dịch chuyển được \(80 \text{ cm}\).

Giả sử vật thực hiện \(N\) chu kỳ hoàn chỉnh để đạt được hoặc vượt qua vị trí mục tiêu.

Độ dịch chuyển sau \(N\) chu kỳ là \(N \times 80 \text{ cm}\).

Số chu kỳ ước tính để đạt được 50000 cm là:

\(N_{ước tính} = \frac{X_{mục tiêu}}{\Delta x_{chu kỳ}} = \frac{50000 \text{ cm}}{80 \text{ cm}} = 625\) chu kỳ.

Điều này có nghĩa là, sau 625 chu kỳ hoàn chỉnh, vật sẽ ở chính xác vị trí \(625 \times 80 \text{ cm} = 50000 \text{ cm}\).

Thời gian để hoàn thành 625 chu kỳ là:

\(T = 625 \times T_{chu kỳ} = 625 \times 15 \text{ s}\).

\(T = 9375 \text{ s}\).

Tại thời điểm \(t = 9375 \text{ s}\), vật đã hoàn thành giai đoạn chuyển động lùi của chu kỳ thứ 625 và đang ở vị trí cách điểm xuất phát \(50000 \text{ cm}\) (hoặc \(500 \text{ m}\)).

Vậy, sau \(9375 \text{ giây}\) vật cách điểm xuất phát 500m.

—

c, Cùng một lúc với vật có một vật khác chuyển động từ B chuyển động về phía A với vận tốc không đổi V3 = 6 cm/s, Tìm vị trí hai vật gặp nhau biết AB = 10 m.

Cho AB = 10 m = 1000 cm.

Chúng ta chọn A làm gốc tọa độ (\(x=0\)). Chiều dương là chiều từ A đến B.

– Vật 1 (chúng ta gọi là vật P1): Chuyển động phức tạp từ A.
– Vật 2 (chúng ta gọi là vật P2): Xuất phát từ B (\(x_B = 1000 \text{ cm}\)) và chuyển động về A với vận tốc \(V_3 = 6 \text{ cm/s}\).

Phương trình chuyển động của vật P2:

\(x_2(t) = x_B – V_3 t = 1000 – 6t\) (cm)

Để tìm vị trí gặp nhau, chúng ta cần tìm thời gian \(t\) mà \(x_1(t) = x_2(t)\).

Vật P1 có chuyển động theo chu kỳ. Chúng ta đã xác định độ dịch chuyển sau \(N\) chu kỳ là \(N \times 80 \text{ cm}\) và thời gian là \(N \times 15 \text{ s}\).

Đặt \(t\) là thời gian gặp nhau. Gọi \(N = \lfloor \frac{t}{15} \rfloor\) là số chu kỳ hoàn chỉnh.

Thời gian còn lại trong chu kỳ hiện tại là \(t_{dư} = t – 15N\).

– Trường hợp 1: Hai vật gặp nhau khi P1 đang chuyển động tiến về phía B (trong khoảng \(0 \le t_{dư} \le 10 \text{ s}\)).

Vị trí của P1 là:

\(x_1(t) = N \times 80 + V_1 \times t_{dư} = 80N + 10(t – 15N)\)

\(x_1(t) = 80N + 10t – 150N = 10t – 70N\)

Điều kiện gặp nhau: \(x_1(t) = x_2(t)\)

\(10t – 70N = 1000 – 6t\)

\(16t = 1000 + 70N\)

\(t = \frac{1000 + 70N}{16} = \frac{500 + 35N}{8}\)

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra điều kiện của \(t_{dư}\): \(0 \le t – 15N \le 10\).

Thay \(t\) vào:

\(0 \le \frac{500 + 35N}{8} – 15N \le 10\)

Nhân tất cả các vế với 8:

\(0 \le 500 + 35N – 120N \le 80\)

\(0 \le 500 – 85N \le 80\)

Từ \(500 – 85N \ge 0 \implies 85N \le 500 \implies N \le \frac{500}{85} \approx 5.88\). Vậy \(N_{max} = 5\).

Từ \(500 – 85N \le 80 \implies 420 \le 85N \implies N \ge \frac{420}{85} \approx 4.94\). Vậy \(N_{min} = 5\).

Chỉ có giá trị \(N=5\) thỏa mãn cả hai điều kiện.

Với \(N=5\), ta tìm được thời gian gặp nhau:

\(t = \frac{500 + 35 \times 5}{8} = \frac{500 + 175}{8} = \frac{675}{8} = 84.375 \text{ s}\).

Kiểm tra lại \(t_{dư}\) với \(N=5\) và \(t=84.375 \text{ s}\):

\(t_{dư} = t – 15N = 84.375 – 15 \times 5 = 84.375 – 75 = 9.375 \text{ s}\).

Vì \(0 \le 9.375 \text{ s} \le 10 \text{ s}\), điều kiện này hợp lệ. Vậy thời điểm gặp nhau là \(t = 84.375 \text{ s}\).

Bây giờ tìm vị trí gặp nhau. Ta có thể dùng phương trình của P2:

\(x_{gặp} = 1000 – 6t = 1000 – 6 \times 84.375\)

\(x_{gặp} = 1000 – 506.25 = 493.75 \text{ cm}\).

Kiểm tra với phương trình của P1:

\(x_{gặp} = 10t – 70N = 10 \times 84.375 – 70 \times 5\)

\(x_{gặp} = 843.75 – 350 = 493.75 \text{ cm}\).

Kết quả trùng khớp!

– Trường hợp 2: Hai vật gặp nhau khi P1 đang chuyển động lùi về phía A (trong khoảng \(10 \text{ s} < t_{dư} \le 15 \text{ s}\)).
Vị trí của P1 là:

\(x_1(t) = N \times 80 + V_1 \times 10 – V_2 \times (t_{dư} – 10)\)

\(x_1(t) = 80N + 100 – 4(t – 15N – 10)\)

\(x_1(t) = 80N + 100 – 4t + 60N + 40 = 140N – 4t + 140\)

Điều kiện gặp nhau: \(x_1(t) = x_2(t)\)

\(140N – 4t + 140 = 1000 – 6t\)

\(2t = 1000 – 140 – 140N\)

\(2t = 860 – 140N\)

\(t = 430 – 70N\)

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra điều kiện của \(t_{dư}\): \(10 < t - 15N \le 15\).
Thay \(t\) vào:

\(10 < (430 - 70N) - 15N \le 15\)
\(10 < 430 - 85N \le 15\)
Từ \(430 – 85N > 10 \implies 420 > 85N \implies N < \frac{420}{85} \approx 4.94\). Vậy \(N_{max} = 4\).
Từ \(430 – 85N \le 15 \implies 415 \le 85N \implies N \ge \frac{415}{85} \approx 4.88\). Vậy \(N_{min} = 5\).

Không có số nguyên \(N\) nào thỏa mãn cả hai điều kiện \(N \le 4\) và \(N \ge 5\). Do đó, trường hợp này không xảy ra.

Vậy, hai vật gặp nhau tại vị trí cách A một khoảng \(493.75 \text{ cm}\) hay \(4.9375 \text{ m}\).

—

TÓM KẾT ĐÁP ÁN:

a, Sau 43 giây, vật cách vị trí xuất phát một khoảng \(248 \text{ cm}\) (hoặc \(2.48 \text{ m}\)).

b, Sau thời gian \(9375 \text{ giây}\) vật cách điểm xuất phát 500m.

c, Hai vật gặp nhau tại vị trí cách điểm A một khoảng \(493.75 \text{ cm}\) (hoặc \(4.9375 \text{ m}\)).

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách phân tích và giải quyết bài toán này. Chìa khóa ở đây là nhận ra tính chu kỳ của chuyển động và sau đó xử lý phần thời gian “lẻ” còn lại một cách cẩn thận. Chúc các em học tốt!