Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải một bài toán liên quan đến dao động điều hoà. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ về phương trình dao động và cách xác định thời điểm vật đi qua một vị trí cụ thể.

Đề bài: Một vật dao động điều hoà theo phương trình \(x = 2\cos(2\pi t – \pi/6)\) (cm) (t tính bằng s). Kể từ t = 0, vật đi qua vị trí có li độ x =-1 cm lần thứ 2025 tại thời điểm 1012,5s là đúng hay sai?

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo các bước chi tiết sau:

Bước 1: Xác định các thông số cơ bản của dao động

Từ phương trình dao động \(x = 2\cos(2\pi t – \pi/6)\) (cm), chúng ta có thể rút ra các thông số sau:

• Biên độ: \(A = 2\) cm
• Tần số góc: \(\omega = 2\pi\) rad/s
• Pha ban đầu: \(\phi = -\pi/6\) rad

Từ tần số góc, ta tính được chu kì của dao động:

\(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\) s

Bước 2: Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm ban đầu (t = 0)

Thay \(t = 0\) vào phương trình li độ:

\(x(0) = 2\cos(2\pi \cdot 0 – \pi/6) = 2\cos(-\pi/6) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\) cm

Để xác định chiều chuyển động, chúng ta cần tìm vận tốc của vật. Phương trình vận tốc \(v\) là đạo hàm của \(x\) theo \(t\):

\(v = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\)

\(v(t) = -2 \cdot (2\pi) \sin(2\pi t – \pi/6) = -4\pi\sin(2\pi t – \pi/6)\)

Tại \(t = 0\):

\(v(0) = -4\pi\sin(-\pi/6) = -4\pi \cdot (-\frac{1}{2}) = 2\pi\) cm/s

Vì \(v(0) > 0\), vật đang chuyển động theo chiều dương tại thời điểm ban đầu.

Vậy, tại \(t=0\), vật ở vị trí \(x = \sqrt{3}\) cm và đang chuyển động theo chiều dương (tức là đi từ \(\sqrt{3}\) đến \(A=2\) cm).

Bước 3: Xác định các thời điểm vật đi qua li độ \(x = -1\) cm trong một chu kì đầu tiên

Ta đặt \(x = -1\) vào phương trình dao động:

\(-1 = 2\cos(2\pi t – \pi/6)\)

\(\cos(2\pi t – \pi/6) = -\frac{1}{2}\)

Từ đây, ta có hai trường hợp cho pha của dao động:

Trường hợp 1: \(2\pi t – \pi/6 = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

Trường hợp 2: \(2\pi t – \pi/6 = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi\) (hoặc \(\frac{4\pi}{3} + k2\pi\)) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

Để tìm thời điểm cụ thể, chúng ta cần xem xét thứ tự các lần vật đi qua vị trí \(x=-1\) cm kể từ \(t=0\). Pha ban đầu của vật là \(-\pi/6\). Vật chuyển động theo chiều dương, tức là pha đang tăng dần từ \(-\pi/6\).

Trên đường tròn lượng giác (hoặc biểu đồ pha), vị trí \(x=-1\) cm tương ứng với các pha \(\frac{2\pi}{3}\) và \(\frac{4\pi}{3}\) (hoặc \(-\frac{2\pi}{3}\)).

Lần thứ nhất vật đi qua \(x=-1\) cm: Khi pha của dao động tăng từ \(-\pi/6\) đến \(\frac{2\pi}{3}\).

\(2\pi t_1 – \pi/6 = \frac{2\pi}{3}\)

\(2\pi t_1 = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\)

\(t_1 = \frac{5\pi/6}{2\pi} = \frac{5}{12}\) s

Lần thứ hai vật đi qua \(x=-1\) cm (trong cùng một chu kì đầu tiên): Khi pha của dao động tiếp tục tăng từ \(\frac{2\pi}{3}\) đến \(\frac{4\pi}{3}\).

\(2\pi t_2 – \pi/6 = \frac{4\pi}{3}\)

\(2\pi t_2 = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}\)

\(t_2 = \frac{3\pi/2}{2\pi} = \frac{3}{4}\) s

Như vậy, trong mỗi chu kì (1s), vật sẽ đi qua vị trí \(x=-1\) cm hai lần.

Bước 4: Xác định thời điểm vật đi qua li độ \(x = -1\) cm lần thứ 2025

Chúng ta có thể thấy rằng:

• Các lần lẻ (1, 3, 5, …) sẽ có dạng \(t_1 + nT\)
• Các lần chẵn (2, 4, 6, …) sẽ có dạng \(t_2 + nT\)

Ta cần tìm thời điểm vật đi qua \(x=-1\) cm lần thứ 2025. Đây là một số lẻ.

Công thức tổng quát cho lần thứ \(N\) (nếu \(N\) là số lẻ) là: \(t_N = t_1 + \frac{N-1}{2}T\)

Áp dụng cho \(N = 2025\), \(T = 1\) s, \(t_1 = \frac{5}{12}\) s:

\(t_{2025} = \frac{5}{12} + \frac{2025-1}{2} \cdot 1\)

\(t_{2025} = \frac{5}{12} + \frac{2024}{2}\)

\(t_{2025} = \frac{5}{12} + 1012\)

\(t_{2025} = 1012 + \frac{5}{12}\) s

Bước 5: So sánh kết quả với thời điểm đề bài đưa ra và kết luận

Thời điểm chúng ta tính được là \(t_{2025} = 1012 + \frac{5}{12}\) s.

Thời điểm đề bài đưa ra là \(1012,5\) s.

Ta có \(1012,5 = 1012 + 0,5 = 1012 + \frac{1}{2} = 1012 + \frac{6}{12}\) s.

Vì \(\frac{5}{12} \neq \frac{6}{12}\), nên thời điểm mà đề bài đưa ra là sai.

Vậy, câu trả lời là: Sai.

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán này nhé!