Đề bài: Một sóng ngang hình sin có tần số 5Hz lan truyền theo chiều dương của trục Ox với biên độ không đổi, tốc độ truyền sóng là 2,4m/s. Trên phương truyền Ox, xét các điểm M và N có tọa độ lần lượt là 60 cm và 144 cm. Ở một thời điểm t, các phần tử môi trường tại M và N có li độ lần lượt là -5 cm và -3 cm. Ngay tiếp sau thời điểm t đó, khi phần tử môi trường tại M có li độ -2 cm thì li độ của phần tử môi trường tại N là bao nhiêu?

Chúng ta cùng phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Tóm tắt và chuyển đổi các đại lượng đã cho

– Tần số sóng: \(f = 5\) Hz

– Tốc độ truyền sóng: \(v = 2,4\) m/s

– Tọa độ điểm M: \(x_M = 60\) cm \( = 0,6\) m

– Tọa độ điểm N: \(x_N = 144\) cm \( = 1,44\) m

– Li độ của M tại thời điểm t: \(u_M(t) = -5\) cm

– Li độ của N tại thời điểm t: \(u_N(t) = -3\) cm

– Li độ của M tại thời điểm t’ (ngay sau t): \(u_M(t’) = -2\) cm

– Yêu cầu: Tìm li độ của N tại thời điểm t’: \(u_N(t’) = ?\)

Bước 2: Tính toán các thông số cơ bản của sóng

Trước hết, chúng ta cần tìm chu kỳ, tần số góc và bước sóng của sóng.

– Chu kỳ sóng: \(T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5} = 0,2\) s

– Tần số góc: \(\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi\) rad/s

– Bước sóng: \(\lambda = v \times T = 2,4 \times 0,2 = 0,48\) m

Bước 3: Xác định độ lệch pha giữa hai điểm M và N

Khoảng cách giữa hai điểm M và N trên phương truyền sóng là:

\(\Delta x = x_N – x_M = 1,44 – 0,6 = 0,84\) m

Độ lệch pha giữa hai điểm M và N là:

\(\Delta\phi = \frac{2\pi \Delta x}{\lambda} = \frac{2\pi \times 0,84}{0,48} = \frac{1,68\pi}{0,48} = 3,5\pi\) rad

Vì sóng lan truyền theo chiều dương của trục Ox, điểm M nằm trước điểm N (\(x_M < x_N\)) nên dao động tại N sẽ trễ pha hơn so với M một góc \(\Delta\phi\).

Do đó, nếu pha dao động của M tại thời điểm t là \(\phi_M(t)\), thì pha dao động của N tại thời điểm t là \(\phi_N(t) = \phi_M(t) – \Delta\phi\).

Ta có: \(\phi_N(t) = \phi_M(t) – 3,5\pi = \phi_M(t) – (4\pi – 0,5\pi) = \phi_M(t) + 0,5\pi\)

Bước 4: Xác định biên độ sóng A

Phương trình li độ dao động điều hòa có dạng \(u = A \cos\phi\). Áp dụng cho M và N tại thời điểm t:

\(u_M(t) = A \cos(\phi_M(t)) = -5\) (1)

\(u_N(t) = A \cos(\phi_N(t)) = A \cos(\phi_M(t) + 0,5\pi)\) (2)

Sử dụng công thức lượng giác \(\cos(\alpha + \pi/2) = -\sin\alpha\), ta có:

\(u_N(t) = -A \sin(\phi_M(t)) = -3\) (3)

Từ (1) và (3), ta có:

\(\cos(\phi_M(t)) = \frac{-5}{A}\)

\(\sin(\phi_M(t)) = \frac{3}{A}\)

Áp dụng hệ thức cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):

\(\left(\frac{-5}{A}\right)^2 + \left(\frac{3}{A}\right)^2 = 1\)

\(\frac{25}{A^2} + \frac{9}{A^2} = 1\)

\(\frac{34}{A^2} = 1 \Rightarrow A^2 = 34 \Rightarrow A = \sqrt{34}\) cm

Bước 5: Phân tích trạng thái dao động của M tại thời điểm t và t’

Tại thời điểm t: \(u_M(t) = -5\) cm.

Tại thời điểm t’: \(u_M(t’) = -2\) cm. (Ngay sau thời điểm t)

Vì li độ của M thay đổi từ -5 cm lên -2 cm, điều này có nghĩa là phần tử môi trường tại M đang chuyển động theo chiều dương (đi lên, hướng về vị trí cân bằng). Do đó, vận tốc của M tại thời điểm t phải là \(v_M(t) > 0\).

Phương trình vận tốc của một phần tử dao động điều hòa là \(v = -A\omega \sin\phi\).

Vì \(v_M(t) > 0\), suy ra \(-A\omega \sin(\phi_M(t)) > 0\). Mà \(A\omega > 0\), nên \(\sin(\phi_M(t)) < 0\).

Chúng ta vừa tìm được từ các điều kiện \(u_M(t)=-5\) và \(u_N(t)=-3\) rằng \(\sin(\phi_M(t)) = \frac{3}{A} = \frac{3}{\sqrt{34}}\) (là một giá trị dương).

Điều này mâu thuẫn với kết luận \(\sin(\phi_M(t)) < 0\) từ việc M chuyển động từ -5 cm lên -2 cm.
Mâu thuẫn này cho thấy dữ kiện của bài toán (các giá trị \(u_M(t)\), \(u_N(t)\) cùng với chiều chuyển động của sóng và sự thay đổi li độ của M) là không nhất quán.

Tuy nhiên, để có thể tiếp tục giải bài toán và tìm được đáp án theo ý đồ của người ra đề, chúng ta sẽ ưu tiên điều kiện về “chiều chuyển động ngay sau thời điểm t” để xác định dấu của sin pha. Điều này có nghĩa là ta chấp nhận rằng pha ban đầu của M, \(\phi_M(t)\), phải làm cho M chuyển động lên dù nó có thể không hoàn toàn khớp với giá trị \(u_N(t)\) đã cho một cách chặt chẽ.

Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng \(A = \sqrt{34}\) cm (đã tính được) và điều kiện \(v_M > 0\) (tức \(\sin\phi_M < 0\)) để tìm \(\sin\phi_M\).

Tại thời điểm t: \(u_M(t) = -5\) cm.

\(\cos(\phi_M(t)) = \frac{u_M(t)}{A} = \frac{-5}{\sqrt{34}}\)

Vì \(v_M(t) > 0\), nên \(\sin(\phi_M(t)) < 0\).

Ta có \(\sin^2(\phi_M(t)) = 1 – \cos^2(\phi_M(t)) = 1 – \left(\frac{-5}{\sqrt{34}}\right)^2 = 1 – \frac{25}{34} = \frac{9}{34}\)

Vậy, \(\sin(\phi_M(t)) = -\sqrt{\frac{9}{34}} = -\frac{3}{\sqrt{34}}\)

Như vậy, tại thời điểm t, pha của M (\(\phi_M(t)\)) nằm ở góc phần tư thứ III (cos âm, sin âm).

Bước 6: Xác định li độ của N tại thời điểm t’

Tại thời điểm t’, li độ của M là \(u_M(t’) = -2\) cm.

Gọi pha dao động của M tại t’ là \(\phi_M(t’)\). Ta có:

\(\cos(\phi_M(t’)) = \frac{u_M(t’)}{A} = \frac{-2}{\sqrt{34}}\)

Vì M vẫn đang chuyển động từ -5cm lên -2cm (tức là đang di chuyển theo chiều dương), nên vận tốc \(v_M(t’) > 0\). Điều này có nghĩa là \(\sin(\phi_M(t’)) < 0\).

Ta có \(\sin^2(\phi_M(t’)) = 1 – \cos^2(\phi_M(t’)) = 1 – \left(\frac{-2}{\sqrt{34}}\right)^2 = 1 – \frac{4}{34} = \frac{30}{34} = \frac{15}{17}\)

Vậy, \(\sin(\phi_M(t’)) = -\sqrt{\frac{15}{17}}\)

Pha dao động của N tại thời điểm t’ là \(\phi_N(t’) = \phi_M(t’) + 0,5\pi\).

Li độ của N tại thời điểm t’ là:

\(u_N(t’) = A \cos(\phi_N(t’)) = A \cos(\phi_M(t’) + 0,5\pi)\)

\(u_N(t’) = A (-\sin(\phi_M(t’)))\)

\(u_N(t’) = -\sqrt{34} \times \left(-\sqrt{\frac{15}{17}}\right)\)

\(u_N(t’) = \sqrt{34} \times \sqrt{\frac{15}{17}}\)

\(u_N(t’) = \sqrt{34 \times \frac{15}{17}}\)

\(u_N(t’) = \sqrt{2 \times 17 \times \frac{15}{17}}\)

\(u_N(t’) = \sqrt{2 \times 15} = \sqrt{30}\) cm

Kết luận:

Li độ của phần tử môi trường tại N ngay tiếp sau thời điểm t, khi phần tử môi trường tại M có li độ -2 cm là \(\sqrt{30}\) cm.

Giá trị \(\sqrt{30}\) xấp xỉ 5,48 cm.

Các em nhớ rằng trong vật lý, đôi khi có những bài toán với dữ kiện không hoàn toàn nhất quán. Trong trường hợp đó, chúng ta cần phân tích kỹ để xác định ý đồ chính của bài toán hoặc chỉ ra những điểm mâu thuẫn đó. Trong bài này, chúng ta đã chọn ưu tiên điều kiện về chiều chuyển động của M để giải quyết.

Hẹn gặp lại các em trong các bài học tiếp theo!