Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập thú vị về lực đẩy Archimedes và sự nổi của vật trong chất lỏng. Bài toán này sẽ giúp chúng ta củng cố kiến thức về trọng lượng riêng và điều kiện vật nổi. Hãy cùng thầy/cô phân tích và giải quyết từng bước một nhé!

Đề bài: Một quả cầu có trọng lượng riêng \(d_1 = 8200 \, N/m^3\), thể tích \(V_1 = 100 \, cm^3\), nổi trên mặt một bình nước. Người ta rót dầu vào phủ kín hoàn toàn quả cầu. Trọng lượng riêng của dầu là \(d_2 = 7000 \, N/m^3\) và của nước là \(d_3 = 10000 \, N/m^3\).

a) Khi đổ dầu đã phủ kín, phần ngập của quả cầu trong nước có đổi không?

b) Tính tỉ số thể tích quả cầu ngập trong nước trước và sau khi đổ dầu.

Phân tích và Tóm tắt đề:

• Trọng lượng riêng của quả cầu: \(d_1 = 8200 \, N/m^3\)
• Thể tích của quả cầu: \(V_1 = 100 \, cm^3 = 100 \times 10^{-6} \, m^3 = 10^{-4} \, m^3\) (Chú ý đổi đơn vị để đồng bộ)
• Trọng lượng riêng của dầu: \(d_2 = 7000 \, N/m^3\)
• Trọng lượng riêng của nước: \(d_3 = 10000 \, N/m^3\)

Nhận xét quan trọng:

• Vì \(d_1 = 8200 \, N/m^3 < d_3 = 10000 \, N/m^3\), nên quả cầu sẽ nổi trong nước.
• Vì \(d_2 = 7000 \, N/m^3 < d_3 = 10000 \, N/m^3\), nên dầu sẽ nổi trên nước.

Bài giải:

Trước hết, chúng ta cần tính trọng lượng của quả cầu:

\(P = d_1 \times V_1 = 8200 \, N/m^3 \times 10^{-4} \, m^3 = 0.82 \, N\)

a) Khi đổ dầu đã phủ kín, phần ngập của quả cầu trong nước có đổi không?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xem xét các lực tác dụng lên quả cầu trong hai trường hợp:

Trường hợp 1: Trước khi đổ dầu (chỉ có nước)

Khi quả cầu nổi trên mặt nước, nó chịu tác dụng của hai lực:

• Trọng lực \(P\) của quả cầu (hướng xuống).
• Lực đẩy Archimedes \(F_{A, truoc}\) của nước (hướng lên).

Điều kiện để quả cầu nổi là: \(P = F_{A, truoc}\)

Mà \(F_{A, truoc} = d_3 \times V_{ngap, truoc}\) (với \(V_{ngap, truoc}\) là thể tích phần quả cầu chìm trong nước).

Vậy, \(P = d_3 \times V_{ngap, truoc}\). Từ đây, chúng ta thấy \(V_{ngap, truoc} = \frac{P}{d_3}\).

Trường hợp 2: Sau khi đổ dầu (dầu phủ kín quả cầu)

Khi đổ dầu phủ kín quả cầu, quả cầu vẫn nổi (vì tổng lực đẩy từ dầu và nước sẽ lớn hơn hoặc bằng trọng lượng của nó). Lúc này, quả cầu chịu tác dụng của ba lực:

• Trọng lực \(P\) của quả cầu (hướng xuống).
• Lực đẩy Archimedes của nước \(F_{A, nuoc, sau}\) (hướng lên).
• Lực đẩy Archimedes của dầu \(F_{A, dau, sau}\) (hướng lên).

Điều kiện để quả cầu cân bằng (nổi) là: \(P = F_{A, nuoc, sau} + F_{A, dau, sau}\)

Mà:

• \(F_{A, nuoc, sau} = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau}\) (với \(V_{ngap, nuoc, sau}\) là thể tích phần quả cầu chìm trong nước sau khi đổ dầu).
• Vì dầu phủ kín quả cầu, phần thể tích của quả cầu không ngập trong nước sẽ ngập hoàn toàn trong dầu. Do đó, phần thể tích quả cầu chìm trong dầu là \(V_1 – V_{ngap, nuoc, sau}\).
• \(F_{A, dau, sau} = d_2 \times (V_1 – V_{ngap, nuoc, sau})\).

Thay vào phương trình cân bằng, ta có:

\(P = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau} + d_2 \times (V_1 – V_{ngap, nuoc, sau})\)

\(P = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau} + d_2 \times V_1 – d_2 \times V_{ngap, nuoc, sau}\)

\(P = (d_3 – d_2) \times V_{ngap, nuoc, sau} + d_2 \times V_1\)

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \(V_{ngap, nuoc, sau}\) như sau:

\(V_{ngap, nuoc, sau} = \frac{P – d_2 \times V_1}{d_3 – d_2}\)

So sánh:

Chúng ta có:

• Trước khi đổ dầu: \(P = d_3 \times V_{ngap, truoc}\)
• Sau khi đổ dầu: \(P = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau} + F_{A, dau, sau}\)

Vì dầu có trọng lượng riêng \(d_2 = 7000 \, N/m^3\) và quả cầu có trọng lượng riêng \(d_1 = 8200 \, N/m^3\), nghĩa là \(d_1 > d_2\). Điều này có nghĩa là quả cầu sẽ chìm trong dầu nếu chỉ có dầu. Do đó, phần quả cầu ngập trong dầu (\(V_1 – V_{ngap, nuoc, sau}\)) sẽ tạo ra một lực đẩy Archimedes từ dầu (\(F_{A, dau, sau}\)) nhỏ hơn trọng lượng của phần thể tích đó.

Tuy nhiên, quan trọng hơn, vì \(F_{A, dau, sau}\) có tồn tại (dầu tạo ra lực đẩy), để giữ cho tổng lực đẩy cân bằng với trọng lượng \(P\) của quả cầu (không đổi), thì lực đẩy của nước \(F_{A, nuoc, sau}\) phải nhỏ hơn lực đẩy của nước ban đầu \(F_{A, truoc}\).

Mà lực đẩy của nước tỉ lệ thuận với thể tích phần ngập trong nước (\(F_A = d_{nuoc} \times V_{ngap}\)). Do đó, nếu \(F_{A, nuoc, sau} < F_{A, truoc}\), thì \(V_{ngap, nuoc, sau} < V_{ngap, truoc}\).

Kết luận cho câu a:

Có, phần ngập của quả cầu trong nước CÓ THAY ĐỔI. Cụ thể, phần ngập trong nước sẽ giảm đi khi đổ thêm dầu vào.

b) Tính tỉ số thể tích quả cầu ngập trong nước trước và sau khi đổ dầu.

1. Thể tích phần ngập của quả cầu trong nước trước khi đổ dầu (\(V_{ngap, truoc}\)):

Khi quả cầu nổi trong nước, lực đẩy Archimedes của nước cân bằng với trọng lượng của quả cầu:

\(F_{A, truoc} = P\)

\(d_3 \times V_{ngap, truoc} = d_1 \times V_1\)

\(V_{ngap, truoc} = \frac{d_1 \times V_1}{d_3}\)

Thay số vào, ta được:

\(V_{ngap, truoc} = \frac{8200 \, N/m^3 \times 10^{-4} \, m^3}{10000 \, N/m^3} = \frac{0.82 \, N}{10000 \, N/m^3} = 0.000082 \, m^3\)

Đổi ra \(cm^3\): \(V_{ngap, truoc} = 0.000082 \, m^3 \times (100 \, cm/m)^3 = 0.000082 \times 10^6 \, cm^3 = 82 \, cm^3\).

Vậy, thể tích phần quả cầu ngập trong nước trước khi đổ dầu là \(V_{ngap, truoc} = 82 \, cm^3\).

2. Thể tích phần ngập của quả cầu trong nước sau khi đổ dầu (\(V_{ngap, nuoc, sau}\)):

Khi đổ dầu phủ kín quả cầu, quả cầu chịu tác dụng của trọng lực và hai lực đẩy Archimedes (một từ nước, một từ dầu). Điều kiện cân bằng là:

\(P = F_{A, nuoc, sau} + F_{A, dau, sau}\)

Chúng ta đã biết \(P = d_1 \times V_1\).

\(F_{A, nuoc, sau} = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau}\)

Phần thể tích quả cầu nằm trong dầu là phần còn lại của quả cầu không nằm trong nước: \(V_{dau} = V_1 – V_{ngap, nuoc, sau}\).

\(F_{A, dau, sau} = d_2 \times (V_1 – V_{ngap, nuoc, sau})\)

Thay vào phương trình cân bằng:

\(d_1 \times V_1 = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau} + d_2 \times (V_1 – V_{ngap, nuoc, sau})\)

Khhai triển và rút gọn để tìm \(V_{ngap, nuoc, sau}\):

\(d_1 \times V_1 = d_3 \times V_{ngap, nuoc, sau} + d_2 \times V_1 – d_2 \times V_{ngap, nuoc, sau}\)

\(d_1 \times V_1 – d_2 \times V_1 = V_{ngap, nuoc, sau} \times (d_3 – d_2)\)

\(V_{ngap, nuoc, sau} = \frac{V_1 \times (d_1 – d_2)}{d_3 – d_2}\)

Thay số vào, ta được:

\(V_{ngap, nuoc, sau} = \frac{10^{-4} \, m^3 \times (8200 \, N/m^3 – 7000 \, N/m^3)}{(10000 \, N/m^3 – 7000 \, N/m^3)}\)

\(V_{ngap, nuoc, sau} = \frac{10^{-4} \, m^3 \times 1200 \, N/m^3}{3000 \, N/m^3}\)

\(V_{ngap, nuoc, sau} = \frac{0.12 \, N}{3000 \, N/m^3} = 0.00004 \, m^3\)

Đổi ra \(cm^3\): \(V_{ngap, nuoc, sau} = 0.00004 \, m^3 \times (100 \, cm/m)^3 = 0.00004 \times 10^6 \, cm^3 = 40 \, cm^3\).

Vậy, thể tích phần quả cầu ngập trong nước sau khi đổ dầu là \(V_{ngap, nuoc, sau} = 40 \, cm^3\).

3. Tính tỉ số thể tích quả cầu ngập trong nước trước và sau khi đổ dầu:

Tỉ số cần tìm là \(\frac{V_{ngap, truoc}}{V_{ngap, nuoc, sau}}\).

Tỉ số \( = \frac{82 \, cm^3}{40 \, cm^3} = \frac{82}{40} = \frac{41}{20}\)

Tỉ số \( = 2.05\).

Kết luận cho câu b:

Tỉ số thể tích quả cầu ngập trong nước trước và sau khi đổ dầu là \(2.05\) (hoặc \(\frac{41}{20}\)).

Các em thấy không, bằng cách áp dụng đúng công thức và phân tích các lực tác dụng, chúng ta có thể giải quyết được bài toán một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!