Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về mô men động lượng của vật rắn quay. Bài tập này yêu cầu chúng ta tính mô men động lượng của một đĩa đặc đồng nhất trong hai trường hợp khác nhau về trục quay.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại công thức tính mô men động lượng của một vật rắn quay quanh một trục cố định. Mô men động lượng \( \vec{L} \) được định nghĩa bằng tích của mô men quán tính \( I \) và vận tốc góc \( \vec{\omega} \):

\( \vec{L} = I \vec{\omega} \)

Độ lớn của mô men động lượng sẽ là:

\( L = I \omega \)

Trong đó:
* \( L \) là mô men động lượng (đơn vị: kg.m²/s)
* \( I \) là mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay (đơn vị: kg.m²)
* \( \omega \) là vận tốc góc của vật rắn (đơn vị: rad/s)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài toán.

Cho bài toán:
Một đĩa đặc đồng nhất có khối lượng \( m = 3,00 \, \text{kg} \) có bán kính \( R = 0,200 \, \text{m} \) quay quanh một trục vuông góc với mặt đĩa. Vận tốc góc của đĩa là \( \omega = 6,00 \, \text{rad/s} \).

Chúng ta cần tính mô men động lượng của đĩa khi trục quay:

a. Đi qua tâm đĩa?

Đối với một đĩa đặc đồng nhất quay quanh trục đi qua tâm và vuông góc với mặt đĩa, mô men quán tính được cho bởi công thức:

\( I_{\text{tâm}} = \frac{1}{2} m R^2 \)

Chúng ta có các giá trị:
* \( m = 3,00 \, \text{kg} \)
* \( R = 0,200 \, \text{m} \)

Thay số vào công thức tính mô men quán tính:

\( I_{\text{tâm}} = \frac{1}{2} \times (3,00 \, \text{kg}) \times (0,200 \, \text{m})^2 \)
\( I_{\text{tâm}} = \frac{1}{2} \times 3,00 \times 0,0400 \, \text{kg.m}^2 \)
\( I_{\text{tâm}} = 0,0600 \, \text{kg.m}^2 \)

Bây giờ, chúng ta tính mô men động lượng \( L_{\text{tâm}} \) khi trục quay đi qua tâm đĩa:

\( L_{\text{tâm}} = I_{\text{tâm}} \omega \)
\( L_{\text{tâm}} = (0,0600 \, \text{kg.m}^2) \times (6,00 \, \text{rad/s}) \)
\( L_{\text{tâm}} = 0,360 \, \text{kg.m}^2\text{/s} \)

Vậy, mô men động lượng của đĩa khi trục quay đi qua tâm đĩa là 0,360 kg.m²/s.

b. Đi qua điểm giữa tâm đĩa và rìa đĩa?

Khi trục quay không đi qua tâm khối lượng, chúng ta cần sử dụng định lý Steiner (hay định lý trục song song) để tính mô men quán tính. Định lý này phát biểu rằng, mô men quán tính của một vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng mô men quán tính đối với một trục song song đi qua khối tâm cộng với tích của khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục.

\( I = I_{\text{cm}} + M d^2 \)

Trong trường hợp này, trục quay đi qua điểm giữa tâm đĩa và rìa đĩa. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ tâm đĩa (khối tâm) đến trục quay là:

\( d = \frac{R}{2} \)

Chúng ta đã biết mô men quán tính của đĩa đặc đối với trục đi qua tâm là \( I_{\text{tâm}} = \frac{1}{2} m R^2 \).
Vậy, mô men quán tính đối với trục mới, \( I_{\text{mới}} \), sẽ là:

\( I_{\text{mới}} = I_{\text{tâm}} + m d^2 \)
\( I_{\text{mới}} = \frac{1}{2} m R^2 + m \left(\frac{R}{2}\right)^2 \)
\( I_{\text{mới}} = \frac{1}{2} m R^2 + m \frac{R^2}{4} \)
\( I_{\text{mới}} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) m R^2 \)
\( I_{\text{mới}} = \frac{3}{4} m R^2 \)

Thay số vào công thức tính mô men quán tính mới:
* \( m = 3,00 \, \text{kg} \)
* \( R = 0,200 \, \text{m} \)

\( I_{\text{mới}} = \frac{3}{4} \times (3,00 \, \text{kg}) \times (0,200 \, \text{m})^2 \)
\( I_{\text{mới}} = \frac{3}{4} \times 3,00 \times 0,0400 \, \text{kg.m}^2 \)
\( I_{\text{mới}} = 0,0900 \, \text{kg.m}^2 \)

Bây giờ, chúng ta tính mô men động lượng \( L_{\text{mới}} \) khi trục quay đi qua điểm giữa tâm đĩa và rìa đĩa:

\( L_{\text{mới}} = I_{\text{mới}} \omega \)
\( L_{\text{mới}} = (0,0900 \, \text{kg.m}^2) \times (6,00 \, \text{rad/s}) \)
\( L_{\text{mới}} = 0,540 \, \text{kg.m}^2\text{/s} \)

Vậy, mô men động lượng của đĩa khi trục quay đi qua điểm giữa tâm đĩa và rìa đĩa là 0,540 kg.m²/s.

Các em thấy đấy, việc thay đổi vị trí trục quay đã làm thay đổi mô men quán tính và do đó làm thay đổi cả mô men động lượng của đĩa.

Chúc các em học tốt!